§ 7. Оценка погрешности, сходимость и устойчивость разностных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений

1. Линейные разностные уравнения.

Прежде чем переходить к вопросам, указанным в заголовке данного параграфа, рассмотрим некоторые вопросы теории линейных разностных уравнений. Эта теория близка к теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому доказательства здесь приводиться не будут.

Линейным разностным уравнением порядка называют выражение вида

где заданные функции целочисленного аргумента Если принимает вид

то уравнение называется однородным. В противном случае уравнение называется неоднородным. Решением уравнения (1) или (2) называется всякая функция целочисленного аргумента , после подстановки которой в уравнение последнее обращается в тождество по . Ясно, что если задать (начальные значения), то мы можем по (1) или (2) последовательно вычислить все Имеют место следующие утверждения:

1. Если являются частными решениями однородного линейного разностного уравнения (2), то и любая их линейная комбинация

с постоянными коэффициентами будет являться решением уравнения (2).

2. Если, кроме того, определитель

отличен от нуля, то любое частное решение (2) может быть представлено в виде (3), т. е. (3) дает общее решение уравнения (2). Частные решения в этом случае называют линейно независимыми.

3. Общее решение уравнения можно представить как сумму какого-то частного его решения и общего решения однородного уравнения (2).

4. Если являются частными решениями (2), для которых определитель (4) отличен от нуля, то функция

является частным решением неоднородного уравнения (1) (аналог метода вариации постоянных).

Если коэффициенты уравнения (1) или (2) не зависят от (тогда мы их будем обозначать просто то будем говорить, что (1) или (2) являются уравнениями с постоянными коэффициентами. Начиная с этого момента, мы будем предполагать, что не зависят от

Будем тогда разыскивать решение уравнения (2) в виде

При этом для определения неизвестных значений z получим алгебраическое уравнение

Это уравнение называется характеристическим для (2). Если все корни характеристического уравнения простые, то

образуют линейно независимую систему решений (2). Часть корней или все корни могут оказаться комплексными. Мы ограничимся случаем, когда все коэффициенты действительны. Поэтому комплексные корни будут попарно сопряжены. Пусть, например,

Тогда этой паре комплексно-сопряженных корней будут соответствовать два действительных частных решения уравнения (2):

Если произвести такую замену для каждойпары комплексно-сопряженных корней, то полученные решения совместно с решениями, соответствующими действительным корням, снова образуют линейно независимых решения (2).

Если является корнем (7) кратности то частными решениями (2) будут:

И в этом случае комплексные корни можно заменить действительными. Во всех случаях мы сможем получить линейно независимых действительных решения уравнения (2).