§ 3. Метод малого параметра

В ряде механических и физических задач приходится сталкиваться с дифференциальными уравнениями, содержащими некоторые параметры. При этом иногда удается найти частное решение дифференциального уравнения для некоторых фиксированных значений этих параметров, удовлетворяющее начальным условиям. Тогда пытаются разыскивать решение дифференциального уравнения в виде ряда по степеням где входящие в уравнение параметры и их частные значения, при которых найдено частное решение. Возможность такого разложения при некоторых предположениях о дифференциальных уравнениях была впервые изучена Пуанкаре в его книге «Новые методы небесной механики» в 1892 г. Сейчас мы приведем его теорему. Для сокращения записей ограничимся случаем системы двух уравнений и одного параметра.

Пусть нам дана система

и требуется найти ее решение, удовлетворяющее условиям: при Предположим, что при мы умеем находить такое частное решение и оно будет

Введем новые переменные и параметр следующим образом:

После подстановки в систему получим:

или

Обозначим правые части (5) соответственно через Теперь нам нужно найти решение системы

обращающееся в нуль при При таким решением будет Следовательно,

Будем предполагать, что являются аналитическими функциями

где и непрерывные функции х в некотором отрезке содержащем точку и ряды сходятся при и любом х, принадлежащем Так как то Будем разыскивать решение системы (6), обращающееся

Сначала определяем функции так, чтобы ряды (8) формально удовлетворяли системе. Подставляя (8) в (6), получим:

Приравнивая коэффициенты при (а в левой и правой частях, находим:

Отыскиваем решение этой системы линейных дифференциальных уравнений, удовлетворяющее условиям Затем

приравниваем коэффициенты при левой и правой частей:

При этом последние слагаемые

являются уже известными функциями х. Таким образом, нам нужно найти решение системы

удовлетворяющее начальным условиям Эта система отличается от предыдущей только свободными членами. Вообще для определения функций нам придется отыскивать решение системы

удовлетворяющее начальным условиям где являются многочленами от с коэффициентами Если нам известна фундаментальная система решений соответствующей однородной системы, то все могут быть найдены с помощью квадратур.

Установим теперь сходимость полученных таким образом рядов. Обозначим через верхнюю границу модулей функций и при Найдем оценку для модулей коэффициентов Произведем эту оценку хотя бы для Обозначим Здесь При этом

а

Перемножим (15) и (16) и проинтегрируем произведение по и в пределах от до Получим:

Но

Аналогичные результаты получатся и для остальных интегралов. Таким образом,

Заменяя на будем иметь:

Отсюда следует, что

или

Здесь могут принимать любые значения от до Для доказательства сходимости мы используем мажорантные ряды. Ряд

будет называться мажорантным по отношению к ряду

если при любых

Рассмотрим функцию

Коэффициент при в разложении этой функции по степеням будет положителен и больше чем

В силу полученной нами оценки для коэффициентов этот ряд будет мажорировать ряды для Тем более, будет мажорировать их ряд для функции

Рассмотрим тогда вспомогательную систему уравнений

и найдем ее решение, обращающееся в нуль при Для этого применим к ней тот же метод, что и для исходной. Функции должны удовлетворять системе уравнений

и начальным данным Применяя метод последовательных приближений к системам (10) и (30), нетрудно убедиться, что

Те же рассуждения дадут

при любом Итак, если мы докажем сходимость рядов

то докажем и сходимость рядов (8). Для того чтобы убедиться в сходимости рядов (33), достаточно доказать, что решение

системы (29), обращающееся в нуль при может быть представлено в виде рядов по степеням

Положим Тогда система (29) перейдет в

Функция при равна у. Решим уравнение (34) разделением переменных. Получим:

или

Отсюда

или

Подберем С так, чтобы было выполнено начальное условие. Получим:

Итак,

Обозначим

Тогда

или

Если а мало, то

Взяв здесь знак минус (чтобы удовлетворяла начальным условиям) леред второй дробью, получим:

Таким образом, а следовательно, и представимы в виде ряда по степеням а, если только если

а этого всегда можно достигнуть выбором достаточно малого В свою очередь а может быть представлено в виде ряда по степеням Тем самым доказана сходимость рядов (33), а следовательно и рядов (8). Уравнения (29) показывают, что будут сходиться ряды и для производных. Этим мы и закончим доказательство теоремы Пуанкаре.

Изложенный метод применим и к уравнениям высших порядков, содержащим параметр.

Иногда, если само уравнение не содержит параметра, его можно ввести искусственно. При этом обычно параметр вставляют так, чтобы при нулевом значении его решение получалось без труда. Тогда находят решение в виде ряда по степеням параметра и затем дают параметру такое значение, при котором получается исходное урав тние. В качестве примера рассмотрим уравнение

Вместо уравнения (47) возьмем

Очевидно, уравнение (47) получится из уравнения (48) при Будем искать решение уравнения (48) в виде

Подстановка (49) в (48) даст

Для определения получим уравнение

Его общее решение имеет вид

Уравнением для определения будет

Таким образом, мы можем последовательно находить все при помощи квадратур. Так, если начальные данные будут заданы при то функции могут быть последовательно определены по формулам

Получив решение У в виде ряда (49), мы затем полагаем Конечно, мы должны предварительно убедиться в том, что ряд (49) сходится при

Фактически используют не полные ряды, а лишь их отрезки. Поэтому нужна дополнительная оценка величины отброшенных членов.

Метод малого параметра часто используется в теориинелинейных колебаний. Не останавливаясь здесь на теоретических вопросах, связанных с существованием периодического решения и возможностью его представления в виде ряда по степеням параметра, рассмотрим один пример. Пусть дано уравнение

Будем разыскивать периодическое решение этого уравнения, имеющее ту же частоту, что и Произведем замену переменных При этом уравнение (55) перейдет в

Потребуем, чтобы функция удовлетворяла следующим условиям:

Здесь штрихом отмечена производная по 9.

В качестве параметра выберем и будем разыскивать и в виде рядов по степеням :

От функций потребуем

Для упрощения полагаем также, что амплитуда мала:

Подставляя (58) и (60) в (56), получим:

Приравнивая нулю члены, не содержащие находим:

Общее решение этого уравнения имеет вид

Из условий (59) получаем:

Итак,

Приравняем теперь нулю члены, содержащие в первой степени. Получим:

или после подстановки вместо его значения

Так как должна быть периодической функцией, то член с в правой части должен обратиться в нуль. Поэтому

или

Таким образом, общее решение уравнения (67) примет вид

Условия (59) дадут

Итак,

Продолжая процесс, найдем: