Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4. Метод Рунге — КуттаМетоды, рассмотренные в предыдущих параграфах, давали приближенное представление решения в аналитической форме. Как мы видели, их применение связано с выполнением большого числа интегрирований, а это не всегда может быть осуществлено практически. Перейдем теперь к изучению численных методов, позволяющих получить таблицу значений решения. Мы начнем с метода, предложенного Рунге и усовершенствованного Кутта и другими математиками. 1. Метод Рунге-Кутта решения дифференциальных уравнений первого порядка.Пусть нам требуется найти решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию
Обозначим
Может оказаться, что для получения Производные, входящие в правую часть (3), могут быть фактически найдены. Так,
Далее,
Чтобы запись последующих производных была менее громоздкой, введем операторы
Для этих операторов будут справедливы следующие равенства:
Заметим, далее, что
Действительно,
Но
и
что и требовалось доказать. Применение оператора
С увеличением порядка выражения для производных становится все более и более громоздкими, даже при операторной записи. Рассмотрим еще операторы
Для них также выполнены равенства (7), а (8) переходит в
Таким Образом,
Производные Мы убедились, что производные входящие в (3), могут быть фактически вычислены. Но в связи с тем, что формулы (12) очень громоздки, их непосредственное использование в (3) для вычисления Рунге предложил вместо этого составлять линейную комбинацию
с постоянными коэффициентами
где
и
Зная Выбор постоянных
будет обладать свойствами
и мы должны подобрать Разность между точным значением
т. е. погрешность метода на одном шаге, будет равна
где Условие
Производная, стоящая в левой части равенства, может быть всегда вычислена указанным ранее способом. Займемся сейчас вычислением производных Для
Для
Чтобы сделать выражения менее громоздкими, снова введем операторную запись. Обозначим
Операторы обладают следующими свойствами:
Применение оператора
Применяя к (26) правила (28) и (29), последовательно получим: (см. скан) И в этом случае наряду с операторами
Для операторов будут справедливы соотношения (28), а равенство (29) заменится на
Таким образом,
Итак, при
Рассмотрим теперь некоторые частные случаи. 1-й случай:
При
и, вообще говоря, в нуль не обращается. Таким образом, приближенная формула
имеет ошибку метода на одном шаге, равную
Говорят, что в этом случае погрешность метода на одном шаге имеет порядок 2-й случай:
Таким образом,
Далее,
Необходимым и достаточным условием обращения
т. е.
Третья производная
и, вообще говоря, в нуль не обращается. Таким образом, беря
мы получим формулы, имеющие порядок ошибки
Возьмем еще вариант:
Можно также подбирать
то, используя (15), (36) и (49), найдем
Остаточный член при выбранных
3-й случай:
Отсюда
Далее,
Чтобы
или
Равенство нулю третьей производной даст
Но
Поэтому равенство (63) можно записать в виде
Оно может выполняться для произвольных
Из равенства (66) следует, что операторы
и равенство (66) переходит в
Равенства (68) и (61) показывают, что операторы
При
В силу (71), (68), (37) и (15) мы получим из (67):
или
Приравняв четвертую производную нулю и использовав (68) и (71), мы получим равенство
Его, вообще говоря, удовлетворить не удастся, так как в левой части содержится член Итак, если подобрать величины
то получим формулу Рунге — Кутта, с порядком погрешности на одном шаге Последние три равенства (75) при выбранных
Отсюда
или
Последнее из уравнений (75) показывает, что
Итак, мы сначала должны подобрать
и затем найти
Рассмотрим некоторые варианты. а) Возьмем
где
б) Возьмем
где
в) Возьмем
где
В последнем случае левая часть (74) будет отличаться от правой лишь на член Остаточный член выражается по общей формуле
Мы не будем здесь выписывать выражения для 4-й случай:
Отсюда
Далее
Отсюда
Приравняв нулю третью производную, получим:
Отсюда
Наконец, приравнивание нулю четвертой производной даст
В (96) входит множителем только в последние члены слева и справа. Поэтому
Равенство (97) показывает, что
Тогда
а (97) переходит в
Из (99) и (95) следует, что
и
Поэтому (95) переходит в
Аналогично из (92) получим:
и
Равенство (94) даст
Сравнивая члены с производными третьего порядка в (96), получим:
Из равенства (96) мы получаем еще следующие два соотношения:
Обращение в нуль пятой производной мы обеспечить в нашем случае не можем. Собирая все соотношения, связывающие величины
Из последнего уравнения системы следует, что
Найдем теперь соотношения, связывающие
Отсюда
или
Соотношение (115) позволит нам выразить Умножая восьмое уравнение на
Проделаем тоже самое с пятым и шестым уравнениями, а затем с шестым и седьмым. Это даст два равенства:
Умножим (117) на
Подставим сюда вместо
или
Прибавим теперь к левой части (121) утроенную левую часть (115), а к скобке в правой части учетверенную левую часть (115). При этом равенство (121) перейдет в
Так как
Потребуем теперь совместности пятого, шестого, седьмого и одиннадцатого уравнений системы (111) относительно
Отсюда
Раскрывая определитель и производя некоторые сокращения, найдем еще одно соотношение, связывающее
Наконец, последнее соотношение мы получим, если потребуем совместности восьмого, девятого и одиннадцатого уравнений (121) относительно
Отсюда
и окончательно
Итак, для удовлетворения системе (111) мы сначала подбираем
а затем находим а)
где
Это одна из наиболее распространенных формул Рунге-Кутта. б) Полагаем
где
в) Полагаем
где
При желании набор формул можно увеличить. Погрешность каждой из этих формул равна
где
Вычисления показывают, что при Можно получить формулы, имеющие порядок ошибки Применяя ту или иную формулу Рунге — Кутта, мы найдем приближенное значение Приведем примеры на применение формул Рунге — Кутта. Будем искать решение уравнения Точным решением будет
(см. скан) (см. скан) (см. скан) (см. скан) (см. скан) (см. скан) Приведем таблицу значений (см. скан) Как мы видим, результаты получились довольно хорошие.
|
1 |
Оглавление
|