1. Вариационные методы решения операторных уравнений в гильбертовом пространстве.

Рассмотрим теперь указанные способы с более общей точки зрения. Пусть некоторое гильбертово пространство и А — аддитивный оператор, определенный на каком-то всюду плотном в множестве Назовем оператор А положительным, если для любого элемента имеет место

причем равенство нулю возможно только при Оператор называется симметричным, если для любых двух элементов принадлежащих имеет место

Заметим, что для симметричности оператора А в комплексном гильбертовом пространстве необходимо и достаточно, чтобы

скалярное произведение было действительным числом для любого

Действительно, если оператор А симметричен, то

т. е. действительное число. Для доказательства достаточности рассмотрим тождество

Поменяв здесь местами получим:

Если заменить все входящие в (15) величины на комплексно-сопряженные и воспользоваться свойствами скалярного произведения и предположенной действительностью то найдем:

Из (14) и (16) получаем:

т. е. оператор А симметричен.

В силу только что доказанного положительный оператор в комплексном гильбертовом пространстве симметричен.

В дальнейшем мы будем предполагать, что наш оператор А положителен, а если гильбертово пространство действительно, то дополнительно предположим, что он симметричен. Рассмотрим уравнение

где заданный элемент и -искомый элемент. Это уравнение не может иметь более одного решения. Если бы имелось два решения и то мы имели бы

и

что невозможно, так как А положительный оператор и

Далее, если уравнение (18) имеет некоторое решение то оно дает функционалу

минимальное значение. Действительно принимает только действительные значения. Возьмем произвольный элемент Положим Тогда

и так как

Утверждение доказано.

Обратно, если найдется такой элемент который дает функционалу наименьшее значение, то у, будет решением уравнения (18).

Для доказательства возьмем произвольный элемент и произвольное действительное число Тогда и

Но

Отсюда

или

Соотношения (27) будут справедливы для любых действительных X только в том случае, если

Заменив х на и проведя те же рассуждения, получим:

Таким образом,

В случае действительного пространства мы вместо (28) сразу полупим (30). Так как всюду плотно в то из (30) следует:

что и требовалось доказать.

Функционалы (3) и (5) можно было бы получить как раз таким образом. Так, если

то уравнение (1) можно записать в виде

Будем сначала рассматривать однородные краевые условия (4), т. е. положим там Пусть две какие-то функции, удовлетворяющие однородным условиям Тогда

Но, в силу (4) (при имеем:

Таким образом,

и оператор А симметричен.

В данном случае функционал (21) примет вид

Это совпадает с (5) при

Отбросим теперь предположение, что а Обозначим через z произвольную, но фиксированную, достаточное число раз Дифференцируемую функцию, удовлетворяющую неоднородным краевым условиям (4), и будем разыскивать у в виде

Тогда будет удовлетворять однородным краевым условиям (4) и дифференциальному уравнению

Таким образом, должна обращать в минимум функционал

Но

Поэтому можно записать в виде

Так как фиксированная функция, то отсюда следует, что искомое решение задачи (1), (4) будет минимизировать функционал

Аналогично можно было бы получить и функционал (3). Функционалы (9) и (10) можно рассматривать как частные случаи

Перейдем теперь к вопросам, связанным с приближенным отысканием функций, реализующих минимум функционала. Теоретико-функциональная сущность этих методов состоит в следующем. Находят какую-то последовательность подпространств

такую, что задача о минимуме функционала (21) при решается элементарными средствами (хотя бы принципиально). Такое решение и принимается за приближенное решение задачи. Чаще всего каждое из подпространств бывает конечномерным. Если, например, в имеется счетный базис то в качестве можно взять подпространство, порожденное

При этом приходится сталкиваться со следующими вопросами. Последовательность приближенных минимизирующих функций такова, что

где через обозначено минимальное значение функционала (21) при Следовательно, существует

Нужно подбирать Яд так, чтобы было Но даже и при этом условии нельзя делать вывода, что существует и

где через у обозначена функция, реализующая минимум (21) при Поэтому нужно выбирать так, чтобы и условие (36) было выполнено. Наконец, на практике мы всегда ограничиваемся каким-то решением и следовательно, нам необходимо уметь оценивать разность между точным решением задачи у и приближенным