§ 3. Метод сеток решения линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа

В этом параграфе мы изложим метод сеток решения основных задач для дифференциальных уравнений вида

где заданные функции переменных в рассматриваемой области плоскости х, у. Для определенности будем считать положительными.

Мы рассмотрим решение двух основных задач:

1. Решение задачи Коши, заключающейся в отыскании решения уравнения (1) в области удовлетворяющего начальным условиям:

где заданные функции переменного х.

2. Решение смешанной задачи, заключающейся в отыскании решения уравнения (1) в области удовлетворяющего начальным условиям:

и некоторым условиям на прямых Мы ограничимся тремя типами условий на этих прямых: краевое условие первого рода

краевое условие второго рода

краевое условие третьего рода

где заданные функции переменного у.

Если на обеих прямых заданы краевые условия первого рода, то мы будем говорить, что имеем первую краевую задачу, если на обеих прямых заданы краевые условия второго рода, то будем говорить, что имеем вторую краевую задачу, и, наконец, если на обеих прямых мы имеем краевые условия третьего рода, то будем говорить о третьей краевой задаче. Часто встречаются и такие задачи, когда на прямых задаются условия разных типов.

Рис. 38.