§ 6. Определение границ собственных значений

Для того чтобы решить полученное тем или иным способом характеристическое уравнение, желательно иметь представление о расположении его корней. В предыдущей главе мы уже рассматривали подобные вопросы. Однако характеристический многочлен тесно сзязан с породившей его матрицей А, и поэтому можно указать ряд методов, более приспособленных к рассматриваемому случаю. Кроме того, часто возникает необходимость знать границы собственных значений и совершенно не требуется характеристический многочлен. В связи с этим в данном параграфе будут рассмотрены методы определения границ собственных значений матрицы, не использующие ее характеристического многочлена в явном виде. Эти методы будут пригодны и для получения границ корней произвольного многочлена, если записать последний в виде характеристического многочлена некоторой матрицы. Для этого можно использовать, например, нормальную форму Фробениусэ.

1. Случай симметрической матрицы.

Рассмотрим уравнение

где А — действительная симметрическая матрица, вектор-столбец и X — действительное или комплексное число. Известно, что в этом случае имеется действительных собственных значений

соответствующих им собственных векторов которые можно считать действительными и ортонормированными. Тогда, если произвольный вектор-столбец:

то

Таким образом,

или

Эти неравенства, которые иногда называют принципом Релея, дают некоторое представление о собственных значениях. Если взять в неравенстве (6) в качестве х собственные векторы, соответствующие собственным значениям то будут выполнены знаки равенства.

Рис. 12.

Таким образом, наибольшее собственное значение А равно верхней границе, а наименьшее собственное значение А — нижней границе отношений, стоящих в (6).

Дадим принципу Релея геометрическую интерпретацию. Пусть отрезок изображает нормированный вектор х и вектор На прямой отложим точки так, что (рис. 12).

Имеем:

Отсюда

Таким образом, угол между двумя векторами не может превышать у. Проведем перпендикуляр и заметим, что

Тогда из (6) следует, что на отрезках и также имеется по крайней мере одно собственное значение.

Рис. 13.

Объединяя (8) и последнее замечание, мы приходим к выводу, что если провести через точку С произвольные прямые и пересекающие прямую соответственно в точках и если угол то на отрезке имеется по крайней мере одно собственное значение. Это и есть геометрическая интерпретация принципа Релея.

Дадим некоторые приложения этой геометрической интерпретации. Пусть опять х — произвольный вектор, Обозначим

Докажем, что если и

то на отрезке имеется по крайней мере одно собственное значение А. Действительно, Пусть

Тогда (рис. 13)

Отсюда и следует утверждение.

Докажем еще, что если а — произвольное действительное число, произвольный нормированный вектор, то на отрезке

найдется по крайней мере одно собственное значение А. Рассмотрим геометрическую картину (рис. 14).

Рис. 14.

Отрезок берем равным а. Точки строим так, что

При

Так как угол прямой, то утверждение доказано.

Дадим небольшое обобщение принципа Релея. Возьмем два многочлена

и рассмотрим

Как известно, собственные значения матрицы равны Как и ранее, для произвольного будем иметь:

Вследствие этого, построив графики функций сможем судить о собственных значениях А. Так, например, если

расположение этих графиков имеет вид, показанный на рис. 15, то мы можем утверждать, что по крайней мере одно собственное значение находится на отрезке и по крайней мере одно вне этого отрезка.

Вычисление матрицы входящей в определение связано с большими затруднениями. Можно несколько видоизменять (18) с целью упрощения вычислений. Предположим сначала, что все собственные значения положительны.

Рис. 15.

Тогда существует матрица, обозначаемая такая, что

Обозначим

При

и мы можем вместо (18) рассматривать правую часть (21) при произвольном ненулевом векторе у. Если условие о положительности собственных значений не выполнено, то можно взять

Тогда правая часть (21) перейдет в

Рассмотрим теперь некоторые частные случаи Пусть где а — произвольное действительное число. В этом случае можно утверждать, что в последовательности

имеются числа большие и меньшие

(рис. 16).

Возьмем теперь . В этом случае

и найдутся две точки пересечения (рис. 17). Если обозначить абсциссы точек пересечения через то можно утверждать, что имеется по крайней мере одно собственное значение на отрезке и по крайней мере одно вне его. Вычисления приводят к отрезку (13).

Рис. 16.

Рис. 17.

Рис. 18.

Пусть, далее, Тогда

Снова получим две точки пересечения графиков (рис. 18). Если все собственные значения А положительны, то на отрезке имеется по крайней мере одно собственное значение.

В данном случае определяются при помощи равенств:

Возьмем еще один случай. Пусть При этом

Опять будет две точки пересечения графиков

Рис. 19.

Абсциссы этих точек определяются следующим образом:

По крайней мере одно собственное значение А лежит на отрезке (рис. 19).

Наконец, возьмем При этом

По крайней мере одно собственное значение А удовлетворяет неравенствам

где

(рис. 20).

На этом мы закончим рассмотрение различных случаев использования обобщенного принципа Релея.

Покажем на примере, как можно использовать полученные формулы. Возьмем снова матрицу § 4 (см. (17) § 4). Будем выбирать различные векторы х и применять наши формулы. Сначала выберем . При этом и если взять то формула (13) даст нам, что на отрезке [5,7121; 6,6515] имеется по крайней мере одно собственное значение матрицы А. Возьмем, далее, . При этом Снова выбрав по формуле (13) получим, что на отрезке [6,6982; 7,6654] находится по крайней мере одно собственное значение матрицы А. Теперь выберем . Это даст и если взять то по формуле (13) найдем отрезок [7,7039; 8,78311.

Рис. 20.

При Возьмем здесь Тогда формула (13) даст отрезок . Наконец, возьмем Это даст

На основании принципа Релея заключаем, что имеется собственное значение меньшее найденного а. Нетрудно проверить, что все собственные значения матрицы А положительны. Полученная далее формула (43) показывает, что все собственные значения матрицы А больше 2. Таким образом, нам удалось найти пять непересекающихся отрезков: , в каждом из которых содержится по крайней мере одно собственное значение А. Корнями многочлена (19) § 4, получившегося путем раскрытия векового определителя матрицы А по способу Данилевского, являются числа: 3,5922564; 5,62574641; 6,05652110; 7,28694071; 8,24088053; 9,56175808.

Как мы видим, нам удалось довольно простыми средствами отделить пять из шести корней многочлена. Не все полученные формулы имеют практическое значение. Однако примеры дают возможность уяснить пути использования принципа Релея для

отделения собственных значений. Сформулируем теперь некоторое уточнение принципа Релея.

Рассмотрим наряду с симметрической действительной матрицей А еще положительно определенную действительную матрицу В. Будем обозначать собственные значения матрицы В через

Собственные значения матрицы также действительны и их можно определить при помощи соотношения

Здесь ищется минимум при всевозможных значениях максимумов записанного отношения для всевозможных ненулевых векторов компоненты которых связаны соотношениями:

Мы не будем приводить доказательства высказанного утверждения, так как оно довольно громоздко. Желающих ознакомиться с ними мы отсылаем к специальной литературе по теории матриц (см., например, Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, Гостехиздат, 1953, глава X, § 7).

Из равенства (35), в частности, следует:

Неравенствами (37) можно воспользоваться, если известны собственные значения Рассмотрим, например, такой случай. Матрица С получается из матрицы А путем деления строк А последовательно на положительные числа Этот процесс можно записать как умножение А справа на где

Поэтому, если собственные значения С, то

Дадим теперь ряд оценок максимальных и минимальных собственных значений действительной положительно определенной матрицы А. Обозначим через определитель А и через -след матрицы А. Рассмотрим

и

Так как среднее арифметическое положительных чисел не меньше чем их среднее геометрическое, то будем иметь:

Неравенство можно усилить, если заменить в левой части неравенства на а в правой части на нуль. Тогда получим:

Неравенство (43) дает оценку минимального собственного значения А снизу. Воспользуемся теперь (42) для того, чтобы получить оценку наибольшего собственного значения сверху. Преобразовывая (42), получим:

Если подставить в правую часть вместо любое число превышающее собственные значения А, то получим оценку сверху для собственных чисел А:

В качестве [а можно взять, например, Эту оценку можно уточнить, воспользовавшись рекуррентной формулой

Получим убывающую последовательность чисел

для которой

Можно показать, что где является наибольшим положительным корнем уравнения

Неравенство (43) также можно уточнить. При имеем:

Положим здесь и применим (42). При этом получим:

Зта оценка лучше, чем (43).

Последние неравенства можно использовать не только для положительно определенных матриц. Пусть А произвольная действительная неособая матрица. Матрица будет симметрической и положительно определенной. Обозначим собственные значения через

При этом, если -собственное значение соответствующий собственный вектор, то из

следует

или

В силу принципа Релея будем иметь:

Таким образом,

где определитель след

Полученные нами для симметрических матриц результаты переносятся и на эрмитовы, матрицы. Матрица А называется эрмитовой, если (здесь черта над А означает комплексную сопряженность). Все собственные значения эрмитовой матрицы — действительные числа. Она имеет взаимно ортогональных собственных векторов. Принцип Релея применим к эрмитовым матрицам, только вместо и нужно брать и где у — вектор, компоненты которого комплексно-сопряженные по отношению к компонентам х числа. Следовательно, все оценки, основанные на принципе Релея, сохранятся с соответствующими видоизменениями. Так же можно перенести и остальные оценки.

2. Случай несимметрической матрицы.

В главе 6 мы доказали, что любая норма матрицы больше модулей ее собственных значений. Этим можно воспользоваться для оценки модулей собственных значений сверху. В частности, мы получим:

Если использовать третью норму матрицы, то получим уже известное неравенство (56). Неравенства (58) можно также записать в виде

Рассмотрим наряду с матрицей А еще матрицы

Это — эрмитовы матрицы. Пусть нормированный собственный вектор А, соответствующий собственному значению Тогда

Отсюда

где и -соответственно элементы Из (62) получаем:

Таким образом,

Аналогично найдем:

Мы получили оценки действительной и мнимой частей собственных значений.

Уточним несколько последний результат. Если обозначить собственные значения эрмитовой матрицы В через а собственные значения эрмитовой матрицы С — через то в силу принципа Релея из (62) следует:

Это — более точные оценки, чем (64) и (65), хотя их использование связано с получением собственных значений матриц В а С.

Пусть матрица А действительная. Тогда матрица В будет симметрической и для получения и можно использовать приведенные ранее оценки. Матрица будет действительной кососимметрической. Такая матрица может иметь только чисто мнимые или нулевые собственные значения. Действительно, если X — ненулевое собственное значение соответствующий собственный вектор, то будем иметь:

или

Так как элементы действительные числа, то собственные значения будут попарно сопряжены. Обозначим ненулевые собственные значения через

Собственные значения С будут отличаться от собственных значений только лишь делителем Поэтому Оценим Сумма попарных произведений собственных значений будет равна

и в то же время она равна коэффициенту при в разложении олределителя по степеням Последний коэффициент равен сумме всех главных миноров второго порядка матрицы

(Главными минорами порядка к матрицы с элементами называются миноры вида

где В нашем случае будем иметь:

Обозначим через этом из 2) следует:

Отсюда

Эта оценка менее точна, но осуществляется проще.

В заключение этого параграфа покажем, что если обозначить

то каждое собственное значение X матрицы лежит по крайней мере в одном из кругов

и по крайней мере в одном из кругов

Пусть X — собственное значение А и соответствующий собственный вектор. Тогда

Пусть При этом из

следует:

и так как то получаем (76). Если провести эти же рассуждения для транспонированной матрицы, имеющей те же самые собственные значения, то получим (77). Утверждение доказано. Из (76) и (77) снова следует (59). Кроме того, если

то