2. Метод прямых решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Пусть в области указанной в п. 1, требуется найти решение уравнения

с граничными условиями

Применяя для решения задачи (6) — (7) метод прямых и заменяя производную разностным отношением

получим следующую систему уравнений метода прямых:

с граничными условиями

аппроксимирующую уравнение (6) с точностью до

Рассмотрим более точную аппроксимацию уравнения (6), предполагая большую гладкость решения задачи (6) — (7). Для этого заметим, что из разложения функции как функции переменного у в окрестности точки по формуле Тейлора следует:

Совершенно аналогично

Исключая из этих двух равенств будем иметь:

Учитывая, что из дифференциального уравнения (6)

и заменяя в (10) все производные получим:

Отбрасывая член с получим следующую систему уравнений метода прямых:

с граничными условиями

аппроксимирующую задачу (6) — (7) с точностью

Так как системы уравнений (8) и (11) линейны, то общее решение каждой из них равно сумме некоторого частного решения и общего решения соответствующей однородной системы, последнее не зависит от от граничных функций, а также и от размеров области если задано и, поэтому его можно найти раз и навсегда, что мы и сделаем сейчас.

Рассмотрим однородную систему уравнений, соответствующую системе (8):

Будем искать частные решения этой системы вида

Подстановка в (8) дает

или

Для отыскания получим однородное разностное уравнение

с граничными условиями

Общее решение разностного уравнения (16) имеет вид

где произвольные постоянные, а корни характеристического уравнения

Из граничных условий (17) имеем:

Отсюда

Но так как

Зная можно найти и неизвестную постоянную 8, ибо по свойству корней квадратного уравнения

откуда

а

Нетривиальные решения будут только при Из уравнения (15) имеем:

или

Итак, мы имеем частных решений линейной однородной системы

которые между собой линейно независимы, а следовательно, общее решение этой системы имеет

где произвольные постоянные.

Совершенно аналогичными рассуждениями можно показать, что общее решение однородной системы, соответствующей системе (11), имеет вид

где

а произвольные постоянные.

Имея общее решение однородных систем, соответствующих системам (8) и (11), в каждом конкретном случае можно найти частное решение этих систем, например, методом вариации постоянных, а следовательно найти общее решение неоднородных систем, а затем, используя граничные условия для функций получить систему линейных алгебраических уравнений для отыскания произвольных постоянных решив которую мы и найдем функции являющиеся приближенными значениями решения задачи (6) — (7) на прямых

В случае прямоугольной области сходимость решения задачи (8), (9) к решению задачи (6), (7) в предположении достаточной гладкости последнего и оценка погрешности метода могут быть получены с помощью принципа максимума для решения системы (8), (9); для доказательства сходимости решения задачи (11), (12) к решению задачи (6), (7) и вывода оценки погрешности метода этот подход уже неприменим.

Если область имеет вид криволинейной трапеции (рис. 75), ограниченной прямыми и кривыми то описанная схема применения метода прямых не является вполне корректной. Оказывается, что существуют очень простые области для которых краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений метода прямых при некоторых будет неразрешима. В связи с этим может быть предложена другая схема метода прямых, свободная от указанного недостатка. Опишем эту схему на примере решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа, если область имеет вид, изображенный на рис. 75,

Строится контур составленный из линий где достаточно

малое число. Рассмотрим систему прямых Абсциссы точек, а также и сами точки пересечения прямой с контуром обозначим через Решаем уравнение системы (8), в которой положено только на общей части отрезков считая, что настолько мало, что общая часть этих отрезков есть отрезок.

Рис. 75.

Краевые условия для зададим следующим образом:

где — заданная в задаче Дирихле граничная функция. Решение рассматриваемой таким образом системы (8) с граничными условиями (25) ищем методом последовательных приближений, принимая за первое приближение, для на отрезке

а следующие приближения при находим из системы уравнений

Обозначая через значения при данном можно показать, что при наличии у решения непрерывных производных

по у до третьего порядка включительно в области и при соответствующем выборе имеет место сходимость приближенного решения к точному решению задачи :

Если предположить, что равномерно непрерывна в и, то этот процесс можно проводить не строя вспомогательного контура

Эта схема обобщается на общие линейные эллиптические уравнения с переменными коэффициентами и на области более общего вида, чем изображенные на рис. 75.

Пример. Найти решение уравнения

в квадрате —0,5 0,5, если граничные условия нулевые:

Для решения задачи применим метод прямых с тремя промежуточными прямыми Значения решения на этих прямых будем находить используя систему уравнений метода прямых вида (8) с Будем иметь систему

с краевыми условиями

Частное решение неоднородной системы ищем в виде Подстановка в систему дает

откуда

Используя выражение (22) для общего решения соответствующей однородной системы, общее решение системы можно записать в виде

где

Удовлетворяя граничным условиям и учитывая симметрию, т. е. считая получим:

Отсюда

Таким образом,

Приближенное значение решения в центре квадрата будет а точное же значение решения в этой точке