2. Метод прямых решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Пусть в области
указанной в п. 1, требуется найти решение уравнения
с граничными условиями
Применяя для решения задачи (6) — (7) метод прямых и заменяя производную
разностным отношением
получим следующую систему уравнений метода прямых:
с граничными условиями
аппроксимирующую уравнение (6) с точностью до
Рассмотрим более точную аппроксимацию уравнения (6), предполагая большую гладкость решения задачи (6) — (7). Для этого заметим, что из разложения функции
как функции переменного у в окрестности точки
по формуле Тейлора следует:
Совершенно аналогично
Исключая из этих двух равенств
будем иметь:
Учитывая, что из дифференциального уравнения (6)
и заменяя в (10) все производные
получим:
Отбрасывая член с
получим следующую систему уравнений метода прямых:
с граничными условиями
аппроксимирующую задачу (6) — (7) с точностью
Так как системы уравнений (8) и (11) линейны, то общее решение каждой из них равно сумме некоторого частного решения и общего решения соответствующей однородной системы, последнее не зависит от
от граничных функций, а также и от размеров области
если задано и, поэтому его можно найти раз и навсегда, что мы и сделаем сейчас.
Рассмотрим однородную систему уравнений, соответствующую системе (8):
Будем искать частные решения этой системы вида
Подстановка в (8) дает
или
Для отыскания
получим однородное разностное уравнение
с граничными условиями
Общее решение разностного уравнения (16) имеет вид
где
произвольные постоянные, а
корни характеристического уравнения
Из граничных условий (17) имеем:
Отсюда
Но так как
Зная
можно найти и неизвестную постоянную 8, ибо по свойству корней квадратного уравнения
откуда
а
Нетривиальные решения будут только при
Из уравнения (15) имеем:
или
Итак, мы имеем
частных решений линейной однородной системы
которые между собой линейно независимы, а следовательно, общее решение этой системы имеет
где
произвольные постоянные.
Совершенно аналогичными рассуждениями можно показать, что общее решение однородной системы, соответствующей системе (11), имеет вид
где
а
произвольные постоянные.
Имея общее решение однородных систем, соответствующих системам (8) и (11), в каждом конкретном случае можно найти частное решение этих систем, например, методом вариации постоянных, а следовательно найти общее решение неоднородных систем, а затем, используя граничные условия для функций
получить систему линейных алгебраических уравнений для отыскания
произвольных постоянных
решив которую мы и найдем функции
являющиеся приближенными значениями решения
задачи (6) — (7) на прямых
В случае прямоугольной области сходимость решения задачи (8), (9) к решению задачи (6), (7) в предположении достаточной гладкости последнего и оценка погрешности метода могут быть получены с помощью принципа максимума для решения системы (8), (9); для доказательства сходимости решения задачи (11), (12) к решению задачи (6), (7) и вывода оценки погрешности метода этот подход уже неприменим.
по у до третьего порядка включительно в области
и при соответствующем выборе
имеет место сходимость приближенного решения к точному решению задачи
:
Если предположить, что
равномерно непрерывна в и, то этот процесс можно проводить не строя вспомогательного контура
Эта схема обобщается на общие линейные эллиптические уравнения с переменными коэффициентами и на области более общего вида, чем изображенные на рис. 75.
Пример. Найти решение уравнения
в квадрате —0,5 0,5, если граничные условия нулевые:
Для решения задачи применим метод прямых с тремя промежуточными прямыми
Значения
решения на этих прямых будем находить используя систему уравнений метода прямых вида (8) с
Будем иметь систему
с краевыми условиями
Частное решение неоднородной системы ищем в виде
Подстановка в систему дает
откуда
Используя выражение (22) для общего решения соответствующей однородной системы, общее решение системы можно записать в виде
где
Удовлетворяя граничным условиям и учитывая симметрию, т. е. считая
получим:
Отсюда
Таким образом,
Приближенное значение решения в центре квадрата будет
а точное же значение решения в этой точке