§ 5. Метод сеток решения линейных дифференциальных уравнений параболического типа

Рассмотрим решение задачи Коши и смешанных задач для линейного дифференциального уравнения параболического типа вида

где заданные функции переменных

1. Метод сеток для решения задачи Коши.

Пусть необходимо найти решение уравнения (1) в полуплоскости удовлетворяющее начальному условию

где заданная функция.

Для отыскания приближенного решения этой задачи методом сеток рассмотрим прямоугольную сетку узлов, образуемую точками

пересечения двух семейств параллельных прямых:

Для каждого узла запишем разностное уравнение, аппроксимирующее с некоторой точностью уравнение (1). Для этого заменим производные в узле соответственно разностными отношениями

Рис. 68.

Производную в узле будем заменять одним из трех разностных отношений:

В соответствии с этими способами аппроксимации производных мы получим три типа разностной аппроксимации дифференциального уравнения (1):

Разностное уравнение (3) содержит значения решения в четырех узлах, изображенных на рис. 69, и аппроксимирует уравнение (1) с точностью до разностное уравнение (4) содержит

значения решения в четырех узлах, изображенных на рис. 70, и аппроксимирует уравнение (1) также с точностью до в разностное уравнение (5) входят значения решения в пяти узлах (рис. 71), и аппроксимация уравнения (1) в этом случае будет

Рис. 69.

Рис. 70.

Для узлов нулевого горизонтального ряда из начального условия (2) имеем:

Первая и третья разностные схемы являются явными схемами, а вторая — неявная.

Особенно простой вид разностные уравнения приобретают для уравнения

Если ввести обозначение то будем иметь:

Рис. 71.

Естественно возникает вопрос: какую из трех схем целесообразнее использовать и какое соотношение между брать?

С точки зрения простоты расчетных формул целесообразно выбирать а так, чтобы разностное уравнение было наиболее просто. Из этих соображений в уравнениях (3) — (5) целесообразно положить а Тогда будем иметь очень простые разностные уравнения:

Для вычислений проще всего первая схема, так как из начальных условий известны значения решения в узлах начального ряда, по ним легко находятся значения решения в узлах первого ряда, затем второго ряда и т. д. При использовании второй схемы приходится решать систему уравнений. При решении задачи с помощью третьей разностной схемы нужно каким-то образом вычислить значения решения в узлах первого ряда, после чего счет идет так же легко, как и по первой схеме. С точки зрения точности аппроксимации дифференциального уравнения (1) третья разностная схема лучше других. Но эту схему при практических расчетах использовать нельзя по другой причине. При счете по этой схеме вычислительная погрешность, избежать которой невозможно ввиду округлений результатов, возникнув на каком-либо шаге, быстро растет в дальнейшем и через небольшое количество шагов полностью исказит решение. Это просто проследить с помощью так называемой е-схемы.

Пусть счет ведется по схеме и до горизонтального ряда вычисления велись точно, а при вычислении была допущена погрешность величины Предполагая, что все дальнейшие вычисления ведутся снова точно, эта погрешность будет распространяться при дальнейших вычислениях следующим образом:

Из этой таблицы видно, что малая погрешность, допущенная при вычислении быстро растет при переходе к следующим слоям. Это, конечно, очень упрощенная схема, так как на самом деле при

счете погрешности возникают на каждом шаге и будут каким-то образом взаимодействовать. Во всяком случае, этот пример показывает, что пользоваться третьей разностной схемой по меньшей мере опасно.

Если мы будем использовать для решения уравнения (1) разностное уравнение то распространение -погрешности будет иметь вид:

Из таблицы видно, что в этом случае погрешность не только не возрастает, а даже уменьшается.

Мы пришли к понятию устойчивости разностной схемы. Разностную схему называют устойчивой, если вычислительная погрешность при переходе от одного слоя к другому не возрастает; если же вычислительная погрешность быстро растет, то схема называется неустойчивой. Рассуждения, приведенные выше, хотя они и не являются достаточно строгими, показывают, что разностная схема для решения задачи Коши для уравнения теплопроводности устойчива, а схема неустойчива. К этому вопросу мы еще вернемся в этом параграфе и подробно его рассмотрим в § 7.

В заключение этого пункта приведем доказательство сходимости последовательности решений задачи Коши для уравнения с начальными условиями (2), получаемых методом сеток с использованием разностной схемы при стремлении к нулю.

Пусть некоторая фиксированная точка верхней полуплоскости. Построим сетку, удовлетворяющую условиям

где — целое число, причем так, чтобы была узлом сетки. Для удобства применим следующую нумерацию узлов. Через будем обозначать узел, находящийся на пересечении прямых При этой нумерации точка будет узлом Решение задачи, получаемое методом сеток при выбранном шаге (а следовательно, и I), будем обозначать через и.

Таким образом, есть решение системы

Легко видеть, что

Так как то можно еще записать и таким образом;

где Рассмотрим выражение

Все входящие в него факториалы заменим по формуле Стирлинга

где основание натуральных логарифмов. Тогда будет выглядеть так:

Обозначим через Будем уменьшать так, чтобы прямая была все время узловой линией. Тогда

Отсюда есть функция Обозначим ее через Рассмотрим предел при указанным выше способом. Очевидно, при будут стремиться к бесконечности, а — к нулю.

Будем иметь:

Далее,

Таким образом,

Но известно, что

есть точное решение уравнения (1) с начальными условиями (2). Следовательно,

Хотя здесь и не все рассуждения проведены с достаточной строгостью (не обоснованы предельные переходы), но мы не только показали сходимость последовательности к точному решению, но еще получили интегральную форму точного решгния.