§ 8. Метод прямых решения граничных задач для дифференциальных уравнений в частных производных

1. Сущность метода прямых.

Пусть в прямоугольной области (рис. 74) необходимо найти решение эллиптического дифференциального уравнения

удовлетворяющее граничным условиям:

где заданные функции.

Метод прямых приближенного решения этой задачи, предложенный . Слободянским, заключается в следующем. На отрезке

возьмем точки и проведем прямые Предполагая существование достаточно гладкого решения задачи (1) — (2), положим в уравнении (1) и заменим производные по у разностными отношениями, например, воспользовавшись равенствами

где

Рис. 74.

Получим следующую систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

Пренебрегая в них членами и обозначая через приближенные значения решения на прямой для их определения, получим систему уравнений

Используя граничные условия на имеем:

Система (4) обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями (5) аппроксимирует с точностью до дифференциальное уравнение (1) с граничным условием (2) и называется системой уравнений метода прямых.

Общее решение системы (4) будет линейно зависеть от произвольных постоянных. Используя граничные условия (5) для отыскания этих постоянных, получим систему линейных алгебраических уравнений, решив которую мы и найдем функции аппроксимирующие решение задачи (1) — (2) на прямых

В зависимости от способа замены производных по у разностными отношениями мы будем иметь разные системы метода прямых, с различной точностью аппроксимирующие дифференциальное уравнение (1).

Этот метод удобнее всего применять в том случае, когда коэффициенты в уравнении (1) не зависят от х. В этом случае система (4) будет системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Метод прямых можно рассматривать как предельный случай метода сеток, если, используя прямоугольную сетку, шаг сетки по оси х устремить к нулю.