6. Приближенное решение уравнений Вольтерра.
Из теории интегральных уравнений известно, что если ядро 
есть непрерывная функция в области 
непрерывная функция на отрезке 
то интегральное уравнение Вольтерра второго рода
имеет единственное непрерывное решение 
при любом значении 
Это решение можно искать в виде
Подставляя этот ряд в уравнение (4) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X, получим:
Если
то
Отсюда, если мы примем за приближенное решение уравнения 
частичную сумму ряда (50):
то погрешность его может быть оценена следующим образом:
Более грубая, но вместе с тем более простая оценка погрешности следующая: обозначим через 
произведение 
и в оценке (54) вынесем общий множитель 
получим:
Ряд, стоящий в фигурной скобке, мажорируем рядом
Тогда получим следующую оценку:
При этом предполагается, что 
настолько велико, что 
Если в (51) квадратуры не берутся, то для их вычисления можно использовать квадратурные формулы, лучше всего с равноотстоящими абсциссами. Будем, например, использовать обобщенную формулу трапеций. Если отрезок 
разбить на 
равных частей и ввести обозначения 
приближенные значения для 
обозначить через 
то будем иметь:
или
Вычислив 
мы получим приближенные значения решения интегрального уравнения (4) в узлах 
по формулам
При использовании обобщенной формулы Симпсон разбиваем отрезок 
на 
равных частей точками 
Тогда, применяя формулу Симпсона для вычисления интеграла
будем иметь:
Значения 
к для нечетных 
придется находить интерполяцией.
Для приближенного решения уравнения (4) можно применять также метод прямой замены интеграла, входящего в уравнение, конечной суммой по какой-либо квадратурной формуле. Например, при использовании обобщенной формулы трапеции, разбивая отрезок 
на 
частей точками 
будем иметь:
или
откуда
Таким образом, шаг за шагом найдем все значения 
Что касается интегральных уравнений Вольтерра первого рода
то при дополнительном предположении, что ядро 
непрерывно дифференцируемые функции, 
его можно
свести к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. В самом деле, дифференцируя уравнение (3), будем иметь:
и 
будет решением интегрального уравнения Вольтерра второго рода
Пример. Найти решение интегрального уравнения
Первый способ. Ищем решение в виде
где
В результате интегрирования получим:
(см. скан)
откуда
Точное решение этого уравнения
Для сравнения приведем значения точного решения и приближенного решения при 
Имеем:
Второй способ. Будем вычислять значения решения в точках
используя для замены интеграла в уравнении обобщенную формулу трапеций с шагом 
Таблица значений 
имеет вид:
(см. скан)
Вычисления дают следующий результат:
(см. скан)
Ниже приведена таблица значений точного решения и погрешность полученного приближенного решения:
(см. скан)
УПРАЖНЕНИЯ
(см. скан)
