3. Метод Рунге-Кутта решения уравнений второго порядка.

Уравнения высших порядков могут быть сведены к системе уравнений первого порядка и, следовательно, к ним также будет применим метод Рунге — Кутта. Но так как в этом случае правые части будут иметь очень простой вид, то можно получить более простые схемы для их решения.

Рассмотрим уравнение второго порядка

и будем отыскивать его решение, удовлетворяющее начальным данным: уравнение может быть сведено к системе

Чтобы сократить записи, будем подробно разбирать только формулы, имеющие порядок погрешности на одном шаге А. При этом

уравнения для определения примут вид:

Для системы (180) получим:

Наиболее простые формулы получатся, если

В этом случае в силу второго и четвертого уравнений Такому условию удовлетворяет, если положить

вариант б) формул, имеющих порядок ошибки рассмотренной нами ранее. При этом

и

Проиллюстрируем применение этой формулы на примере уравнения

Найдем два его частные решения. Одно из них должно удовлетворять начальным условиям другое Точными решениями в этом случае будут Правый столбец отведем для значений точного решения. Вычисления в нашем случае упростятся благодаря тому, что в правой части отсутствует у. Ход вычислений будет виден из первой таблицы. (См. стр. 323).

Как мы видим, результаты ползчились неплохие. Аналогичные схемы можно получить и для других вариантов значений Приведем три готовые схемы, не входя в подробности их получения (см. стр. 326).

Мы уже говорили о том, как можно производить оценку погрешности формул Рунге — Кутта для одного уравнения первого порядка. Аналогичные рассуждения годятся и для систем уравнений и уравнений высших порядков. Но оценки эти будзт очень грубыми, так как они получатся в результате сложения большого числа отдельно оцениваемых выражений. Не будем здесь проводить всех выкладок, так как они очень громоздки, а практически ценность результата незначительна.

Для варианта а) формул Рунге — Кутта, имеющих порядок погрешности на одном шаге Бибербахом была получена следующая оценка:

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Здесь точное решение в точке соответствующее приближенное значение. Предполагается, что в области и ее производные до четвертого порядка включительно удовлетворяют условиям:

Беря вместо (188) условия

Лоткин получил другую оценку:

которая иногда выгоднее (187). И та и другая оценки очень грубы и практически малопригодны.

На практике пользуются приемом Рунге, производя вычисления дважды: один раз с шагом а втором —с шагом или у. Об этом мы уже говорили в главе 3, когда обсуждали вопрос о практической пригодности формул остаточных членов при численном интегрировании.