означает, что
а следовательно,
положительный оператор на
Если
то
Равенство нулю возможно лишь при
Из первого следует, что
а из второго, так как
следует, что
т. е. и на
оператор
положителен, если
Если
, то
не будет положительным оператором на
так как для любой функции и, тождественно равной в
любой постоянной С, имеем
Но в эгом случае решение краевой задачи (44), (47) существует не при всех
Рассмотрим условия, при которых задача имеет решение. Пусть функция и удовлетворяет уравнению
краевому условию (47), Проинтегрируем по области О тождество
Будем иметь:
Но
так как
Таким образом, функция
должна удовлетворять условию
Выделим из
функции, удовлетворяющие этому условию. Их совокупность образует в
линейное множество
сохраним то же скалярное произведение, что и в
Полученное гильбертово пространство примем за основное, В нем выделим множество
дважды непрерывно дифференцируемых в
функций, удовлетворяющих на
условию (47). На этом множестве
будет уже положительным оператором. Действительно, при
из (52) имеем:
Если
Но так как и
то
откуда
и
что и доказывает положительность оператора
на
Заметим, что в
уравнение (44) имеет единственное решение, чего нет в
так как в
при
решение определяется с точностью до постоянного слагаемого.
На основании общей теории п. 1, если краевые задачи (44) — (45), (44)-(46), (44) - (47) имеют решения, что мы всегда будем предполагать, то они будут также и решениями следующих вариационных задач:
Решение задачи
является решением задачи о минимуме функционала
на множестве
Решение задачи
является решением задачи о минимуме функционала
на линейном множестве
Решение задачи (44) — (47) является решением задачи о минимуме функционала (55) на линейном множестве
если
и решением задачи о минимуме функционала
на линейном множестве
функций, удовлетворяющих условию (47) и условию
при этом функция
должна удовлетворять условию (54).
Для того чтобы к решению вариационных задач можно было применить метод Ритца, нужно показать, что оператор
на соответствующих линейных множествах является также и положительно определенным оператором. Тогда на основании общей теории будет иметь место сходимость в среднем минимизирующих последовательностей, полученных по методу Ритца, к точным решениям соответствующих краевых задач.
Положительную определенность оператора
нетрудно доказать при некоторых дополнительных ограничениях, воспользовавшись следующими утверждениями, которые мы приведем без доказательства. (Доказательства можно найти в книге Михлина С. Г. «Прямые методы в математической физике» или в книге Куранта и Гильберта «Методы математической физики», т. 2, гл. 7.)
Если функция
дважды непрерывно дифференцируема в области
и на кусочно-гладкой границе
области О обращается в нуль, то существует такая положительная постоянная А, не зависящая от и, что имеет место неравенство
называемое неравенством Фридрихса.
Если функция и дважды непрерывно дифференцируема в области
то существует такая постоянная
не зависящая от и, что справедливо неравенство
которое также называют неравенством Фридрихса, а также неравенство
где
положительные постоянные, не зависящие от и, которое называется неравенством Пуанкаре.
Пусть теперь
. Тогда по (53) имеем: