2. Метод Ритца приближенного решения краевых задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка эллиптического типа.

В конечной области ограниченной кусочно-гладким контуром задано уравнение

где положительная непрерывно дифференцируемая в области функция, и -непрерывные в функции, при этом Рассмотрим следующие краевые задачи:

Найти решение уравнения (44), удовлетворяющее на границе одному из следующих трех краевых условий:

(о — непрерывная неотрицательная функция, не равная тождественно нулю, внешняя нормаль);

Мы рассматриваем нулевые краевые условия, так как общий случай может быть сведен к рассматриваемому, если в можно найти какую-нибудь достаточно гладкую функцию удовлетворяющую ненулевым заданным условиям и вместо функции и искать функцию Такая замена приведет нас к краевой задаче для уравнения, отличающегося от уравнения (44) только правой частью, но уже с нулевыми начальными условиями.

Рассмотрим гильбертово пространство действительных функций, интегрируемых с квадратом в области в котором скалярное произведение определено равенством

В этом пространстве выделим три множества функций элементами которых являются дважды непрерывно дифференцируемые функции в удовлетворяющие соответственно краевым условиям (45), (46) или (47).

Покажем, что оператор положителен на множествах а также и на множестве если в последнем случае В самом деле,

Если

Если но и т. е. а это и показывает, что при всех и только при что и означает положительность оператора на

Если и то из (49) и (46) имеем:

Так как и то и равенство нулю возможно лишь при т. е. при Но если то и а это

означает, что а следовательно, положительный оператор на

Если то

Равенство нулю возможно лишь при Из первого следует, что а из второго, так как следует, что т. е. и на оператор положителен, если

Если , то не будет положительным оператором на так как для любой функции и, тождественно равной в любой постоянной С, имеем Но в эгом случае решение краевой задачи (44), (47) существует не при всех Рассмотрим условия, при которых задача имеет решение. Пусть функция и удовлетворяет уравнению краевому условию (47), Проинтегрируем по области О тождество

Будем иметь:

Но

так как Таким образом, функция должна удовлетворять условию

Выделим из функции, удовлетворяющие этому условию. Их совокупность образует в линейное множество сохраним то же скалярное произведение, что и в Полученное гильбертово пространство примем за основное, В нем выделим множество дважды непрерывно дифференцируемых в функций, удовлетворяющих на условию (47). На этом множестве будет уже положительным оператором. Действительно, при

из (52) имеем:

Если Но так как и то

откуда и что и доказывает положительность оператора на

Заметим, что в уравнение (44) имеет единственное решение, чего нет в так как в при решение определяется с точностью до постоянного слагаемого.

На основании общей теории п. 1, если краевые задачи (44) — (45), (44)-(46), (44) - (47) имеют решения, что мы всегда будем предполагать, то они будут также и решениями следующих вариационных задач:

Решение задачи является решением задачи о минимуме функционала

на множестве

Решение задачи является решением задачи о минимуме функционала

на линейном множестве

Решение задачи (44) — (47) является решением задачи о минимуме функционала (55) на линейном множестве если и решением задачи о минимуме функционала

на линейном множестве функций, удовлетворяющих условию (47) и условию

при этом функция должна удовлетворять условию (54).

Для того чтобы к решению вариационных задач можно было применить метод Ритца, нужно показать, что оператор на соответствующих линейных множествах является также и положительно определенным оператором. Тогда на основании общей теории будет иметь место сходимость в среднем минимизирующих последовательностей, полученных по методу Ритца, к точным решениям соответствующих краевых задач.

Положительную определенность оператора нетрудно доказать при некоторых дополнительных ограничениях, воспользовавшись следующими утверждениями, которые мы приведем без доказательства. (Доказательства можно найти в книге Михлина С. Г. «Прямые методы в математической физике» или в книге Куранта и Гильберта «Методы математической физики», т. 2, гл. 7.)

Если функция дважды непрерывно дифференцируема в области и на кусочно-гладкой границе области О обращается в нуль, то существует такая положительная постоянная А, не зависящая от и, что имеет место неравенство

называемое неравенством Фридрихса.

Если функция и дважды непрерывно дифференцируема в области то существует такая постоянная не зависящая от и, что справедливо неравенство

которое также называют неравенством Фридрихса, а также неравенство

где положительные постоянные, не зависящие от и, которое называется неравенством Пуанкаре.

Пусть теперь . Тогда по (53) имеем:

Положим . По условию Используя первое неравенство Фридрихса (58), имеем:

Так как то это и означает положительную определенность оператора на

Пусть теперь и В этом случае оператор будет положительно определенным, если

или

Пусть Если то по (51)

что и доказывает положительную определенность на Если то

Обозначим через наименьшее из чисел и положим где В — постоянная в неравенстве Фридрихса (59) Имеем:

т. е. положительно определенный оператор на

Для вариационной задачи, соответствующей краевой задаче (44) — (47), также рассмотрим два случая.

Если то положительно определенный оператор на так как по (52) в этом случае

откуда и следует утверждение.

Если то положительно определенный оператора на В этом случае

и так как то из неравенства Пуанкаре следует: о

где что и показывает положительную определенность на

Итак, сходимость метода Ритца будет иметь место при тех ограничениях, при которых мы показали положительную определенность оператора

Для построения минимизирующей последовательности по методу Ритца выбираем последовательность координатных функций

удовлетворяющих следующим условиям:

1) дважды непрерывно дифференцируемы в ;

2) удовлетворяют заданным краевым условиям;

3) любое конечное число этих функций линейно независимо;

4) для любого и любой функции и. принадлежащей к множеству допустимых функций рассматриваемой вариационной задачи, найдутся такое целое число и такие числа

Для выполнения последнего условия достаточно потребовать, чтобы для и и любого нашлись такие что

В случае краевой задачи (44) — (47) от координатных функций можно не требовать выполнения краевых условий.

Члены минимизирующей последовательности имеют вид

где числовые коэффициенты суть решение системы

и выражаются через коэффициенты уравнения (44) и координатные функции следующим образом:

Все утверждения этого пункта распространяются и на случай любого числа независимых переменных, т. е. на краевые задачи для уравнения

где непрерывно дифференцируемые функции переменных в конечной области О с гладкой границей удовлетворяющие условию, что в любой точке квадратичная форма

положительно определенна, непрерывные функции в причем с граничными условиями одного из следующих видов:

где неотрицательная непрерывная на функция ;