3. Число действительных корней алгебраического уравнения.

Оценку числа действительных корней алгебраического уравнения можно получить с помощью известного правила Декарта. Это правило мы получим как следствие более общей теоремы, которую назовем обобщенным правилом Декарта. Эта теорема позволяет находить числа действительных корней обобщенных многочленов. Прежде чем ее формулировать, введем некоторые определения.

Пусть дана конечная последовательность действительных чисел

Будем называть индекс местом перемены знака, если . В этом случае говорят, что образуют перемену знака.

Очевидны или легко доказываются следующие утверждения:

1) число перемен знака в последовательности не изменится, если члены, равные нулю, будут опущены, а оставшиеся члены сохранят свое расположение;

2) число перемен знака в последовательности не изменится, если вставить любое число членов, равных нулю, или рядом с членом последовательности вставить новый член того же знака;

3) при вычеркивании членов последовательности число перемен знака не увеличивается;

4) если и не равны нулю, то в последовательности будет четное или нечетное число перемен знака, смотря по тому, будут ли и иметь одинаковые или разные знаки;

5) пусть место перемены знака в последовательности

Тогда число перемен знака в этой последовательности на единицу больше числа перемен знака в последовательности

Пусть - последовательность функций, непрерывных вместе со своими производными до порядка

включительно на отрезке Рассмотрим определитель Вронского

Имеют место следующие свойства этого определителя:

В самом деле, вторая строка определителя имеет вид

Если из нее вычесть первую строку, умноженную на то она превратится в

Третья строка имеет вид

Если из нее вычесть первую, умноженную на и преобразованную вторую, умноженную на то получим:

Продолжая процесс дальше и вынося затем из каждой строки получим требуемый результат,

В самом деле, вторая строка определителя слева имеет вид

а третья строка

Вычтем из нее вторую, умноженную на В результате получим:

Аналогично после вычитания из четвертой строки второй, умноженной на и преобразованной третьей, умноженной на получим:

Продолжая упрощения далее и вынося за знак определителя получим требуемый результат.

Теорема (Обобщенное правило Декарта). Если на отрезке функции непрерывны вместе с производными до порядка включительно и для любой последовательности

на то число нулей комбинации

с действительными коэффициентами (не равными одновременно нулю) на отрезке не превышает числа перемен знака в последовательности

Доказательство. При утверждение тривиально, так как по условию теоремы все функции не обращаются на в нуль и имеют одинаковый знак. Предположим, что утверждение справедливо при и докажем, что оно останется справедливым при переходе к Пусть

число нулей функции на число перемен знака в последовательности Если то, очевидно, и и утверждение верно. Пусть и одна из перемен происходит на месте. Введем обозначения:

Тогда

Так как на имеет нулей, то число нулей функции по теореме Ролля не может быть меньше т. е. . С другой стороны, число перемен знака в последовательности

равно Так как

то определители Вронского для системы обладают тем же свойством, т. е. будут все положительны. Таким образом, в силу предположения т. е.

В качестве примера рассмотрим совокупность функций

где — действительные числа и . В этом случае при всех

Следовательно, линейная комбинация

с не равными одновременно нулю коэффициентами а; не может иметь нулей больше числа перемен знака в последовательности

Используя свойство (2) определителей Вронского и полагая получим:

Таким образом, при

Следовательно, число положительных корней уравнения

где действительные числа, не превосходит числа перемен знака в последовательности

В частности, правило Декарта имеет место для алгебраических уравнений

с действительными коэффициентами.

При многочлен имеет знак, совпадающий со знаком а при - знак, совпадающий со знаком Следовательно, многочлен имеет четное число положительных корней, если знаки совпадают, и нечетное число корней, если разных знаков. Но то же самое можно сказать и о числе перемен знака в последовательности Таким образом, разность между числом перемен знака в последовательности и числом положительных корней есть число четное или нуль.

Правило Декарта не дает точного числа корней на отрезке а лишь устанавливает их верхнюю границу, но зато оно очень просто, особенно в применении к обычным многочленам. Замена х на позволяет получить также и верхнюю границу числа отрицательных корней уравнения.

Точное число действительных корней алгебраического уравнения, заключенных в данных пределах, может быть определено с помощью теоремы Штурма.

Теорема Штурма. Пусть дано алгебраическое уравнение степени не имеющее кратных корней-, найдем производную и обозначим остаток от деления на взятый с обратным знаком, через остаток от деления на с обратным знаком — через до тех пор пока не придем к постоянной. Получим последовательность функций

Число действительных корней уравнения расположенных на отрезке равно разности между числом перемен знака нашей последовательности функций при и числом перемен знака последовательности при (Доказательство теоремы можно найти, например, в книге А. Г. Куроша «Курс высшей алгебры».)

К теореме Штурма можно сделать следующие замечания:

1. Функции можно умножать на положительные числа.

2. Последовательность функций можно оборвать на такой функции, которая не обращается в нуль на отрезке

3. Если имеет кратные корни, то, как и прежде, можно получив последовательность не будет постоянным. Поделив все функции на получим новую последовательность. С помощью этой последовательности можно тем же способом получить число корней уравнения на отрезке только без учета их кратности.

4. Последовательность которую мы образовали, может быть заменена любой другой последовательностью функций, лишь бы они удовлетворяли следующим условиям:

а) последняя функция на не меняет знака;

б) две рядом стоящие функции не могут обращаться в нуль при одном и том же значении

в) если в последовательности какая-либо функция, за исключением первой, обращается в нуль при то две соседние к ней функции в некоторой окрестности этого значения имеют различные знаки;

г) отношение при переходе через нуль меняет знак с отрицательного на положительный.

Такая последовательность функций называется последовательностью Штурма.

Теорема Штурма дает хороший в теоретическом отношении способ определения числа действительных корней, расположенных на данном отрезке но при практическом применении требует очень большой вычислительной работы. Менее совершенна в теоретическом отношении, но более удобна для практики теорема Бюдана:

Число действительных корней алгебраического уравнения степени расположенных на отрезке не превышает числа потерянных перемен знака в последовательности

при переходе от и разность между ними есть число четное.