§ 5. Решение систем уравнений

Решение системы уравнений

представляет значительно более сложную задачу, чем решение одного уравнения. Мы опишем только наиболее распространенные методы решения систем.

1. Метод итераций решения систем специального вида.

Пусть известно, что система

в некоторой области пространства имеет единственное решение числа, соответственно близкие к При некоторых ограничениях на функции исходя из этих приближенных значений, можно найти приближенные значения с наперед заданной точностью. Это уточнение может быть выполнено с помощью метода итераций, заключающегося в том, что по находится следующее приближение по формулам:

По полученным значениям находятся

и т. д. Если найдено приближение то приближение находится по формулам:

Если при то говорят, что метод итераций сходится к искомому решению. Для того чтобы получить решение с нужной точностью, практически продолжают процесс до тех пор, пока два последовательных приближения будут совпадать с заданной точностью.

Прежде чем формулировать условия сходимости метода, для удобства записи соотношений и формулировок введем некоторые понятия и обозначения.

Будем рассматривать как компоненты -мерного вектора Определив норму вектора х равенством

можно ввести понятие расстояния между векторами положив

Определим оператор

где .

Если положить то вместо равенств (3) можно писать одно векторное равенство:

Будем говорить, что система функций удовлетворяет условию Липшица с константой К в некоторой области О, если для любых двух векторов имеют место неравенства

Достаточное условие сходимости метода итераций для решения системы (2) дает следующая теорема-.

Если на множестве всех векторов х, для которых

система функций удовлетворяет условию Липшица с константой К, меньшей единицы, то при любом начальном векторе последовательность

сходится к а, причем

Справедливость этой теоремы легко следует из принципа сжатых отображений. В самом деле, оператор осуществляет сжатое отображение в себя, так как если то

т. е. Далее, если то

и так как то отображение сжатое отображение в себя. Множество векторов является полным метрическим пространством, следовательно, по принципу сжатых отображений в существует одна и только одна неподвижная точка, т. е. одно и только одно решение уравнения

которое будет пределом последовательности (7) при любом векторе Но так как и то а и есть неподвижная точка, т. е.

Далее,

или

что и доказывает неравенство (9).

Если мы будем понимать под совокупность векторов х, для которых фиксированный вектор) и в система функций удовлетворяет условию Липшица с константой а

то из теоремы § 3, уточняющей принцип сжатых отображений, следует, что система (2) имеет в единственное решение, которое можно получить методом итераций, исходя из произвольного

Предположим теперь, что в некоторой выпуклой области О пространства функции имеют непрерывные первые производные и в области О система (2) имеет единственное решение Предположим далее,

что при некотором начальном приближении все следующие приближения

не выходят из области О. Тогда

где — некоторая точка отрезка прямой, соединяющей точки Обозначим через матрицу

Тогда равенства (14) можно коротко записать в виде одного векторного равенства

из которого имеем:

Для того чтобы а при достаточно выполнения условия

Но это условие будет выполнено, если при где

так как элементы матрицы по абсолютной величине не больше соответствующих элементов матрицы а отсюда уже следует, что элементы матрицы по абсолютной величине не больше соответствующих элементов матрицы Но для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы были по модулю меньше единицы, достаточным же

условием является условие, что какая-нибудь норма матрицы меньше единицы. Если собственные значения матрицы по модулю меньше единицы, то а это означает, что если начальное приближение выбрано достаточно близким к а, то все не будут выходить из области О, и мы будем иметь теорему:

Если функции срлгр в некоторой выпуклой области О, содержащей решение системы (2), непрерывны и имеют непрерывные первые производные, то для сходимости метода итераций достаточно, чтобы у матрицы (19), где все собственные значения были по модулю меньше единицы, а начальное приближение достаточно близко к решению

В частности, это условие будет выполнено, если какая-нибудь из норм матрицы меньше единицы.

Из этой теоремы вытекают следующие практически более удобные достаточные признаки сходимости метода итераций.

Для сходимости метода итераций решения системы (2) достаточно выполнения одного из следующих трех условий:

причем в этих случаях за можно принимать любой вектор из окрестности или 2, или 3, в зависимости от того, рассматриваем ли условия (20) или (21), или (22)), а

если только эта окрестность целиком принадлежит О.

Неравенства (20) — (22) соответственно означают, что первая, вторая или третья нормы матрицы меньше единицы.