§ 10. Линейные одношаговые методы первого порядка
Перейдем теперь к изучению линейных одношаговых методов первого порядка. Большое количество таких методов можно получить следующим образом. Представляем матрицу 
в виде суммы трех матриц:
Здесь В — диагональная матрица, в матрице С равны нулю элементы, лежащие на и выше главной диагонали, а в матрице 
равны
нулю элементы, лежащие на и под главной диагональю. Выбираем какое-то число со 
и осуществляем итерационный процесс по формуле
Если разрешить 
относительно то получим:
Особенно часто используется случай 
При этом получается так называемый метод Зейделя, Рассмотрим подробно этот метод.
1. Метод Зейделя.
Метод Зейделя отличается от простой итерации тем, что, найдя какое-то приближение для компоненты, мы сразу же используем его для отыскания следующей компоненты. Вычисления ведутся по формуле
По начальному приближению 
находим 
Затем по 
находим и т. д. После того как будут найдены все 
таким же образом находим 
пока не достигнем нужной точности.
Решим ту же систему, которая рассматривалась в предыдущем параграфе, методом Зейделя. Мы не будем повторять запись коэффициентов, а приведет лишь результаты вычислений:
(см. скан)
Заметим, что здесь, так же как и при простой итерации, можно было бы сократить вычисления и записи. Прежде всего несколько
первых приближений можно было проводить с меньшим количеством знаков. Наоборот, в последних приближениях, когда старшие разряды уже установились, нет необходимости выписывать их вновь. Последовательные приближения продолжаются обычно до тех пор, пока два следующих друг за другом приближения не станут совпадать.
