7. Основные задачи, встречающиеся при исследовании плоского безвихревого сверхзвукового установившегося течения идеального газа.

Любые случаи плоского установившегося движения идеального газа при сверхзвуковых скоростях при отсутствии сильных разрывов (разрывов можно получить, если известны методы решения следующих задач.

Задача 1. Поле скоростей (т. е. ) задано в плоскости х, у на дуге некоторой линии С, не являющейся характеристикой. Требуется найти поле скоростей в области, ограниченной дугой и двумя характеристиками разных семейств, выходящими из точек а

Рис. 63.

Рис. 64.

Задача 2. Поле скоростей известно на дугах двух характеристик разных семейств, выходящих из точки а. Требуется найти поле скоростей в области, ограниченной этими дугами и дугами характеристик, выходящими из точек b и с.

Задача 3. Поле скоростей задано на дуге характеристики того или другого семейства, выходящей из точки а, лежащей на твердой стенке заданной уравнением. Предполагается, что

граница стенки лежит между характеристиками, выходящими из точки а. Требуется определить поле скоростей в области, ограниченной дугой стенкой и характеристикой второго семейства, выходящей из точки о.

Задача 4. Поле скоростей задано на дуге характеристики, где а лежит на свободной границе уравнение которой неизвестно (под свободной границей мы понимаем кривую, вдоль которой абсолютная величина скорости постоянна, а направление ее совпадает с касательным направлением к этой кривой в данной точке). Требуется найти уравнение свободной границы и поле скоростей в области, ограниченной дугой свободной границей и характеристикой второго семейства, выходящей из точки о. Очевидно, что свободная граница расположена между характеристиками, выходящими из точки а.

Для численного решения этих задач можно применить метод Массо. Подробно на этом методе останавливаться нет необходимости, так как задача 1 есть задача Коши, задача 2 — задача Гурса, задача 3 — задача, которую мы раньше назвали второй смешанной задачей. В задаче 3 нужно только иметь в виду, что на твердой стенке условием на будет требование, что направление скорости совпадает с направлением, касательным к стенке.

Рис. 65.

Рис. 66.

Рис. 67.

Решение этих задач было подробно рассмотрено раньше. Остановимся на решении задачи 4, так как раньше мы не рассматривали аналогичную задачу.

Для численного решения задачи 4 возьмем на дуге достаточно густую сетку точек (точки 1, 2, 3, 4 на рис. 67). Так как в точке а известны то в этой точке можно вычислить абсолютную величину скорости и найти ее направление, т. е. направление свободной границы в этой точке. В направлении ее проводим луч до

пересечения с лучом, выходящим из точки 1 в направлении характеристики второго семейства, проходящей через эту точку (точка 5 на рис. 67). Значения в точке 5 можно найти, используя дифференциальное соотношение вдоль характеристики второго семейства, выходящей из точки 1, если в нем дифференциалы заменим конечными разностями и постоянство абсолютной величины скорости вдоль свободной границы. Таким образом, мы найдем в этой точке, а следовательно и направление свободной границы в этой точке. По точкам 5 и 2 обычным приемом найдем точку 6, по и 3 — точку 7, по 7 и 4 — точку 8. Таким образом, мы найдем новый ряд точек, расположенных на новой характеристике первого семейства. Далее, повторяем изложенный процесс, считая этот ряд исходным. Уточнение можно выполнить каждый раз с помощью приемов, описанных ранее. Таким образом, после конечного числа шагов мы найдем приближенно свободную границу и поле скоростей в рассматриваемой в задаче области.

Умея находить поле скоростей в каждой из четырех задач, можно решать более сложные задачи, комбинируя эти четыре, а также находить другие величины, характеризующие движение газовой среды (например, давление и плотность используя соотношения, связывающие их со скоростями.