3. Метод прямых решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны.

Рассмотрим сначала метод прямых приближенного решения простейшего уравнения колебаний струны

в области при следующих начальных и граничных условиях

Проведем систему параллельных прямых

и обозначим через значения точного решения задачи (27) — (28) на прямой т. е. Если заменить разностным отношением

то получим следующую систему уравнений метода прямых:

с начальными условиями

аппроксимирующую уравнение (27) с точностью до

Чтобы получить систему уравнений метода прямых, более точно аппроксимирующую уравнение (27), воспользуемся равенством, аналогичным равенству (10):

Из дифференциального уравнения

Тогда соотношение (10) после подстановки дает

Отбрасывая член и заменяя при этом на получим следующую систему уравнений метода прямых:

с начальными условиями

Эта система уже дает аппроксимацию порядка

Здесь, как и в п. 2, легко построить общие решения однородных систем, соответствующих системам дифференциальных уравнений метода прямых (29) и (31).

Построим для примера общее решение системы

соответствующей системе (31). Частные решения этой системы будем искать в виде

Подставляя в систему (33), получим:

или

Для отыскания получаем разностное уравнение

с граничными условиями

Его общее решение имеет вид

где корни уравнения

Из граничных условий имеем:

Таким образом,

или так как

Далее,

откуда

а

(при s = 0 получаем тривиальное решение

Из уравнения (34)

или

Таким образом,

Общее решение однородной системы (33), следовательно, имеет вид

где произвольные постоянные. Найдя методом вариации постоянных частное решение неоднородной системы (31), получим общее решение ее как сумму частного решения и построенного общего решения (39) однородной системы. Постоянные найдутся из условий (32).

Однородная система, соответствующая системе (29), имеет общее решение

где

Сходимость решений, полученных методом прямых, к обобщенному решению задачи (27) — (28) имеет местох) в любом прямоугольнике если начальные и граничные условия нулевые, а для функции имеют место неравенства

с некоторой положительной константой С. Общий случай начальных граничных условий сводится к этому случаю при выполнении

некоторых требований на гладкость функций и условий сопряжения.

Остановимся теперь на решении методом прямых задачи о колебаниях неоднородной струны

Приближенные значения решения этой задачи на прямых можно получить, как решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Может быть предложен следующий способ доказательства сходимости и оценки погрешности метода

Положим Для получаем, применяя разложения по формуле Тейлора, систему

где

причем максимумы модулей величин, обозначенных в индексе, при Положим

В силу (46), (47), (48) и неравенства Коши — Буняковского, дифференцируя (49), получаем:

(см. скан)

Так как то, следовательно,

Далее, вследствие будет

Следовательно, в силу неравенства Коши — Буняковского

откуда

Сопоставляя (50) и (51), получим оценку

Здесь константа выражается через константы . В цитированной на стр. 551 заметке дается также выражение через коэффициенты уравнения, свободный член и начальные и граничные функции