9. Обращение.

Пусть задано отображение (1.6):

Под обращением данного отображения понимают отображение, которое приводит в соответствие те же точки

плоскостей что и данное отображение, но в обратном порядке, т. е. точкам плоскости ставятся в соответствие точки плоскости Сами отображения при этом называются взаимно-обратными. Оригинал (прообраз) в данном отображении делается в обратном отображении образом, а образ — оригиналом. Отображение, обратное отображению (1.6), находится решением системы уравнений (1.6) относительно

Может случиться, что отображение, обратное данному однозначному отображению, уже не будет однозначны Так, если двум различным точкам плоскости соответствует одна и та же точка плоскости (см. черт. 3), то при обратном отображении (с плоскости на плоскость одной точке будут соответствовать по меньшей мере две точки , следовательно, это отображение не будет однозначным.

Говорят, что точка плоскости покрывается раз при отображении области плоскости если она является образом точек (различных или нет) области т. е. если система уравнений

имеет относительно пар действительных корней, принадлежащих области

Область — образ области — мы можем представлять себе слоистой: любая ее часть состоит из такого числа листов (или пластин), сколько раз покрывается при отображении каждая точка этой части.

Рассмотрим, например, отображение

круга что каждым двум точкам этого круга соответствует одна и та же точка Значит, обратное отображение двузначное, что легко проверяется и непосредственно: для этого стоит только выразить х и у через

Остановимся еще на этом наглядном примере. Так как

то при имеем:

Отсюда следует, что окружность радиуса (с центром в начале координат) отображается также в окружность (с центром в начале координат) радиуса Последняя окружность будет дважды покрыта (верхняя полуокружность преобразуется в одну окружность нижняя полуокружность — во вторую окружность Таким образом, заданный круг отображается в двулистный круг

Характер этого отображения сделается еще более ясным, если заметим, что луч отображается также в луч: угол наклона которого к оси равен удвоенному углу наклона к оси луча-прообраза. Значит, рассматриваемое отображение любую точку плоскости преобразует в такую точку плоскости что ее полярный радиус равен квадрату полярного радиуса прообраза, а ее полярный угол — удвоенному полярному углу прообраза.