13. Равномерно распределенные точки.

Остановимся на одном важном свойстве аффинного отображения. Пусть в плоскости даны две системы прямых линий, каждая из которых состоит из параллельных между собой равноудаленных прямых; если угол между линиями первой системы и линиями второй системы отличен от нуля, то вся плоскость разобьется этими двумя системами на области, ограниченные равными параллелограммами. Мы говорим, что точки, лежащие в вершинах этих параллелограммов, равномерно распределены в плоскости.

Покажем теперь, что при аффинном отображении равномерно распределенные точки переходят снова в равномерно распределенные. Для этого возьмем в плоскости прямую линию

и найдем ее образ в плоскости при аффинном отображении (1.8). Мы получим уравнение этого образа, если в уравнение (1.9) подставим вместо х и у их выражения (1.8) через

т.е.

где

— постоянные коэффициенты. Но это есть уравнение прямой линии в плоскости так как для параллельных и равноудаленных прямых линий в плоскости можно считать постоянными, а коэффициент в качестве параметра, образующего арифметическую прогрессию, то, как легко видеть, в уравнении коэффициенты будут также постоянными, а коэффициент будет параметром, образующим также арифметическую прогрессию. Отсюда следует, что параллельные и равноудаленные прямые отображаются в прямые, параллельные и равноудаленные, и, значит, что образом параллелограмма при аффинном

отображении является также параллелограмм. Из этого вытекает, что вершины параллелограмма переходят в вершины отображенного параллелограмма, а это мы и хотели показать.

В частности, «координатные линии»

отображаются в одну систему прямых линий, а именно:

а «координатные линии»

— в другую систему прямых линий:

Черт. 5.

Прямоугольник (черт. 5) с начальной вершиной в точке и сторонами, равными преобразуется в параллелограмм с начальной вершиной в точке и сторонами, проекции которых на оси соответственно равны:

для стороны соответствующей стороне и

для стороны соответствующей стороне