Очевидно, что суперпозиция гомеоморфных отображений является также гомеоморфным отображением.
Понятием суперпозиции пользуются для того, чтобы представить данное отображение как результат последовательности более простых отображений.
К числу особенно простых отображений относятся отображения, в которых одна из координат (абсцисса или ордината) остается неизменной; такие отображения называются примитивными. Оказывается, что при довольно общих и простых условиях всякое отображение можно представить как суперпозицию двух примитивных отображений, или, как говорят, можно разложить на два примитивных отображения.
Теорема. Если дана система
причем из второго равенства можно выразить у как однозначную и непрерывную функцию от х и v (II, 151, см. также § 7), то существует такая функция 
что
Доказательство. Пусть из второго равенства (1.7) найдено:
это значит, что 
. Тогда искомой функцией 
будет:
Действительно:
Каждое из примитивных отображений (1.7) и 
изменяет соответствующую область только в одном направлении: отображение 
преобразует данную область 
в направлении оси ординат, оставляя неизменной абсциссу каждой точки, а отображение (1.7) преобразует полученную область А в направлении оси абсцисс, оставляя неизменной ординату каждой точки (черт. 4). Этими двумя шагами достигается, в конечном счете, отображение данной области 
в область А, которое изменяет, вообще, и абсциссу и ординату каждой точки. Таким образом, всякое отображение мы можем представить себе как известную совокупность отображений интервала в интервал, ибо любое примитивное отображение есть зависящее от параметра отображение интервала прямой линии в интервал прямой линии.
Точно так же, если из первого равенства (1.7) можно выразить 
как однозначную и непрерывную функцию от 
, пусть
то данное отображение
можно разложить на два других примитивных отображения, а именно:
где
Здесь область сначала преобразуется в направлении оси абсцисс, а полученная область затем преобразуется в направлении оси ординат.
Черт. 4.
Указанные разложения отображения на два примитивных позволяют образ 
точки Р. получить как бы «ходом коня»: сначала ее передвинуть по вертикали, а потом по горизонтали или наоборот: сначала по горизонтали, а потом по вертикали.
Пример. Пусть
Имеем из второго равенства:
заменяя здесь 
через 
через 
находим два промежуточных примитивных отображения:
и 
отображает некоторую область 
плоскости 
в область А плоскости 
посредством двух промежуточных отображений: 1) области 
— в область А плоскости 
с помощью системы 
; 2) области А — в область А с помощью системы 
Результирующее отображение области 
в область А называется суперпозицией (или произведением) двух этих промежуточных (или вспомогательных) отображений. Суперпозиция отображений может состоять не из двух, а из большего числа промежуточных отображений.
