101. Применения. Задача термодинамики.

Допустим, что некоторая величина может рассматриваться как функция дуги данной плоской линии обладающая свойством аддитивности» т. е.

если Возьмем в произвольной точке линии I как угодно малый ее участок,

характеризуемый приращениями и найдем элемент (дифференциал) величины соответствующий этому участку. Имеем:

где X и Y — известные функции точки Р. Если эти функции определены в какой-нибудь области содержащей; линию и удовлетворяют условию (4.15), то выражение для является полным дифференциалом; применяя формулу Ньютона — Лейбница (4.16), получим:

причем интеграл можно брать по любой линии, и будет просто функцией точки. Если же выражение не является полным дифференциалом, то, тем не менее, формула для остается справедливой (это следует из формулы Ньютона — Лейбница для обыкновенного интеграла), но интегрирование должно производиться обязательно линии (При условии, что функции X и Y определены; в области можно сказать, что есть функционал

В качестве примера использования изложенной только что схемы рассмотрим одну из основных задач термодинамики.

Под состоянием тела понимают совокупность величин, характеризующих его физические признаки. В термодинамике обычно этими величинами служат: давление объем и абсолютная температура Т. Следовательно, состояние тела задано как только указаны три величины: . Так как эти величины связаны между собой одним уравнением — так называемым уравнением состояния, то состояние тела фактически определяется двумя величинами, например и (третья, Т, есть функция

Геометрически каждому состоянию соответствует точка в плоскости , значит, каждому процессу (состоящему в последовательном изменении состояния тела) соответствует некоторая линия Она называется диаграммой процесса. В том случае, когда тело возвращается к исходному состоянию, процесс называют круговым или циклом; его диаграммой будет замкнутая линия.

Пусть тело есть идеальный газ, т. е. газ, который мы считаем подчиняющимся уравнению состояния Клапейрона:

Поставим перед собой задачу найт количество тепла поглощенного или выделенного газом при процессе, изображенном данной диаграммой I.

На линии I выделим произвольный ее участок от точки до точки представляющий «бесконечно малый процесс»; соответствующее ему количество тепла обозначим через Это тепло идет на приращение механической энергии частиц газа, т. е. в конечном счете на приращение температуры и на работу, производимую при изменении объема Мы найдем элемент (главную часть линейную относительно если, опираясь на «принцип сложения малых действий» (II, 145), допустим, что поглощаемое тепло есть сумма двух количеств тепла: 1) затрачиваемого на приращение температуры при постоянном объеме затрачиваемого на работу расширения при постоянной температуре Т. Первое равно где теплоемкость газа при постоянном объеме, второе равно где есть термический эквивалент работы (умножением на а мера механической работы переводится на термические единицы работы).

Следовательно,

Согласно уравнению Клапейрона

внося это в выражение для получим:

Выясним смысл выражения Из двух последних формул при постоянном давлении находим:

т.е.

откуда видно, что коэффициент при есть просто теплоемкость при постоянном давлении:

( и считаем постоянными).

Итак,

Для того чтобы найти искомое количество тепла остается проинтегрировать выражение для по диаграмме процесса

Здесь условия независимости интеграла от. пути интегрирования не выполняются, Действительно

но как это следует из соотношения Таким образом, величина существеннозависит от контура не является функцией точки Наше рассуждение показывает, что количество поглощаемого или выделяемого тепла не есть функция состояния газа; оно зависит не только от конечного состояния, на и от того, каким способом газ пришел к этому состоянию, другими словами, от совокупности всех промежуточных состояний. В частности, круговой процесс (цикл), вообще говоря, влечет поглощение (или выделение) тепла.

В термодинамике вводится имеющая большое значение величина характеризующая процесс, — так называемая энтропия. Определяется энтропия как аддитивная функция, причем так, что ее элемент соответствующий участку диаграммы процесса от точки до точки полагается равным частному от деления элемента тепла на значение температуры Т:

отсюда

где — диаграмма процесса.

Для идеального газа «находим:

и так как

Подынтегральное выражений теперь есть полный дифференциал, ибо

и, стало быть, энтропия является функцией состояния газа; ее величина не зависит от того, как газ изменяется от начального, состояния к конечному, в частности, она равна нулю для всякого цикла.

Интегрируя, получаем:

Рассмотрим два частных случая:

1) При изотермическом процессе

Отсюда следует, что когда — замкнутая линия, то количество поглощенного тепла пропорционально площади, ограниченной диаграммой. (Диаграмма изотермического процесса называется изотермой.)

2) Если процесс — адиабатический значит, и имеем из выражения для :

откуда

где Это — уравнение диаграммы адиабатического процесса (так называемой адиабаты) в идеальном газе. Адиабатой служит политропная кривая.