76. Условия регулярности.

Пусть дано отображение

регулярное в некоторой области плоскости

Отобразим (гомеоморфно) область в область плоскости с помощью системы функций:

при условии, что другими словами, отнесем область к системе криволинейных ортогональных координат и найдем выражения для условий регулярности системы (3.21) в переменных

В соответствии с формулами (3.10) имеем:

т. е.

или, раскрывая определители,

Умножая первое из этих равенств на а второе — на и затем складывая, получим:

точно так же, умножая первое равенство на а второе на и затем складывая, получим:

Так как вследствие ортогональности системы (3.22) (см. п°36) равно то мы приходим к таким условиям регулярности:

или в более симметричной записи

Например, в полярных координатах условия регулярности отображения запишутся так:

Если т. е. если отображение (3.22) регулярно, то условия регулярности данной системы сохраняют свой вид:

Это означает уже известный нам факт суперпозиция регулярных отображений представляет собой регулярное отображение.