92. Способы вычисления.
Пусть плоская линия I задана параметрическими уравнениями:
где 
дифференцируемые функции переменной (параметра) и в ориентированном интервале 
оси 
соответствующем заданному ориентированному контуру интегрирования 
В этом случае криволинейный интеграл по координате может быть вычислен по формуле
где 
Роль параметра и может выполнять и переменная интегрирования 
Формула 
по существу, обобщает формулу (4.9), относящуюся к случаю, когда контуром служит интервал 
оси 
При необходимости контур 
разбивается на части и значение всего интеграла находят как сумму интегралов, вычисляемых по формуле 
Все сказанное можно дослозно повторить для случая пространственной линии 
заданной параметрическими уравнениями:
для которой формула 
запишется в виде
где 
Таким образом, вычисление всякого криволинейного интеграла приводится к вычислению обыкновенных (ординарных) интёгралоз.
Криволинейный интеграл по координате тесно связан с соответствующим интегралом по длине; эти интегралы просто выражаются друг через друга. Мы имеем (черт. 28) в плоском случае:
где 
— элемент (дифференциал) длины линии I в ее точке 
-проекции ориентированного элемента этой
линии в точке Р на оси 
углы, образованные ориентированной касательной к линии 
в точке Р с осями 
Если обозначить через 
углы, образованные ориентированной нормалью к линии I в точке Р с осями 
то (см. черт. 28 ) 
и мы получаем другую пару формул:
Значит,
В пространственном случае имеем аналогичные соотношения:
Черт. 28.
Эти соотношения позволяют изучать интегралы одного типа посредствохм изучения интегралов другого типа, в частт ности интегралы по ориентированным линиям, через интегралы по длине.
Понятие криволинейного интеграла по координате совершенно так же, как и понятие криволинейного интеграла по длине, может быть распространено на случаи: 1) простирающегося в бесконечность контура интегрирования; 2) бесконечных разрывов интегрируемой функции на контуре интегрирования; другими словами, могут быть введены понятия несобственных криволинейных интегралов по координате.
