104. Формула Остроградского.

Формула Остроградского представляет собой как бы распространение формулы Грина (4.11) на пространство.

Теорема. Имеет место следующая формула:

называемая формулой Остроградского. Здесь — функции тонки в пространственной области 6, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка, а поверхность — граница областц 6, причем интегрирование по поверхности происходит в положительном направлении (т. е. по ее внешней стороне).

Доказательство. Предположим сначала, что область 6 — односвязная, ограниченная замкнутой поверхнот стью пересекающейся с координатными линиями не более чем в двух точках. Возьмем тройной интеграл

и выразим его через двойные интегралы. Для этого проведем цилиндрическую поверхность, ортогональную к плоскости и касающуюся данной замкнутой поверхности по некоторой линии, разбивающей ее на две поверхности каждая из которых пересекается с любой прямой, параллельной оси не более чем в одной точке. Область которую высекает указанная цилиндрическая поверхность в плоскости есть проекция на эту плоскость и области 6, и поверхностей Пусть уравнения соответственно поверхностей

причем ггъх. Интегрируя сперва по z, а затем по х и по у в области получим:

Выполняя внутреннее интегрирование, находим:

Двойные интегралы в правой части являются выражениями для поверхностных интегралов по координатам х и у от функции взятых по верхним сторонам этих поверхностей. Значит,

— нижняя сторона поверхности. Следовательно,

причем интегрирование в правой части совершается по внешней стороне всей поверхности (т. е. в положительном направлении).

Граница области 6 — поверхность — может содержать участки цилиндрической поверхности с образующей, перпендикулярной к плоскости формула остается при этом верной.

Так же, как и при доказательствах формул Грина и Стокса, нетрудно показать при помощи подходящих разбиений области на части опираясь на свойства тройных и поверхностных интегралов» что формула справедлива для всяких областей, не обязательно односвязцых, и ограниченных любыми (рассматриваемыми нами): поверхностями, а не

только такими, которые встречают координатную линию не более чем в двух точках.

Вполне аналогично доказываются формулы

Складывая почленно равенства мы и приходим к формуле Остроградского. Ясно, что она верна и для сходящихся несобственных интегралов.

Если положить то из формулы Остроградского получим:

откуда находим:

т. e. выражение для объема пространственной области посредством поверхностного интеграла по границе области.

Придадим формуле Остроградского (422) другой вид, выразив интеграл в правой части через интеграл по площади поверхности. Так как (п°94, стр. 258—259):

где — углы, образованные нормалью к внешней стороне замкнутой поверхности соответственно с осями то

Б этом виде формула Остроградского уже вполне логична формуле Грина (4.13).

Пример. «Вернемся к интегралу Гаусса (п°п° 81, 83):

для замкнутой поверхности Так как

где обозначения углов сами по себе понятны, и

то

Пусть 6 — область, ограниченная поверхностью Применим к интегралу формулу Остроградского. Мы имеем право сделать только в случае, когда начало координат лежит вне области 6; если же начало координат принадлежит области 6 или поверхности то функции будут разрывными в области интегрирования.

Имеем по формуле (4.23):

Ясно, что подинтегральное выражение равно нулю и, значит, в согласии с

Покажем, как вычисляется значение интеграла с помощью формулы Остроградского в случае, когда начало координат принадлежит области 6; при этом интеграл оказывается несобственным. Возьмем сферу с центром в начале координат и с таким радиусом чтобы она целиком лежала внутри области 6. Тогда в области ограниченной данной поверхностью и сферой интеграл собственный и можно воспользоваться формулой Остроградского. Этим приемом мы изолировали особую точку, мешавшую нам применить формулу Остроградского. Получаем:

Отсюда

и так как для точек сферы имеет место равенство

мы пришли к тому же результату, что и в п° 81 (см. стр. 218). Таким же образом рассматривается и случай, когда начало координат лежит на поверхности

Приведенное рассуждение весьма характерно для ряда задач математического анализа.

Полученные результаты, касающиеся интеграла Гаусса, справедливы и тогда, когда роль начала координат играет какая-нибудь фиксированная точка пространства, т. е. когда есть длина радиуса-вектора, соединяющего эту фиксированную

точку с произвольной точкой поверхности а угол между нормалью к поверхности и радиусом-вектором.