ГЛАВА IV. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

§ 1. ИНТЕГРАЛ ПО МЕРЕ ОБЛАСТИ

Предыдущая глава была посвящена интерпретациям и преобразованиям выражений, имеющих дифференциальный характер (построенных при помощи понятий производных и дифференциалов). Теперь мы рассмотрим интерпретации и преобразования выражений, имеющих интегральный характер (построенных при помощи понятий интегралов). Эти вопросы так же постоянно используются при всевозможных применениях математического анализа и при изложении его специальных глав. Понятие интеграла наряду с понятиями производной и дифференциала принадлежит к числу самых важных и фундаментальных понятий анализа. Прежде всего мы приведем основные определения и факты, нужные для дальнейшего, касающиеся главных аспектов понятия интеграла.

80. Определения.

Сначала обратимся к понятию интеграла по мере области интегрирования. В качестве области интегрирования будут употребляться: 1) линия на плоскости (черт. 26, а); 2) линия в пространстве (черт. 26, б);

3) плоская область (черт. 26, в); 4) поверхность в пространстве (черт. 26, г); 5) пространственная область 6 (черт. 26, д) .

Для всех перечисленных областей интегрирования можно дать общее определение интеграла по мере области.

Черт. 26.

Определение. Пусть конечная область Е разбита произвольным образом на частичных областей есть произвольная точка области , а есть мера области интегралом I по мере (длине, площади, объему)

от функции по области Е, на которой функция непрерывна, называется предел интегральной суммы

при и стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей

Каждый член интегральной суммы есть произведение значения функции в произвольной точке

частичной области на меру этой области. Суммирование производится по всем частичным областям.

В так называемой теореме существования интеграла (ср. II, 167, 168) показывается, что интегральная сумма действительно всегда при указанных условиях имеет предел, не зависящий ни от способа последовательного разбиения области на частичные области, ни от выбора точек

В целях наглядности и удобства преобразований интеграл обозначают обычно таким числом символов интеграла, каково число измерений области интегрирования. Частичные области и их меры мы будем обозначать так: и в случаях 1) и 2); в случае 3); и в случае 4); в случае 5). Интеграл (4.1) соответственно с этим записывают следующим образом:

Первые два интеграла называются криволинейными интегралами (по длине), третий — двойным интегралом (по площади), четвертый — интегралом по площади поверхности, пятый — тройным интегралом (по объему).

В частности, если линией или служит интервал какой-нибудь координатной оси, то криволинейный интеграл по длине есть просто обыкновенный (ординарный) интеграл, взятый по указанному интервалу в направлении от меньших значений к большим, т. е. от левого его конца к правому.