§ 2. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ

33. Определения. Координатные линии.

Возьмем отображение

гомеоморфное в некоторой области плоскости и какую-нибудь ее точку пусть образом этой точки служит точка а образом области — область плоскости Так как каждой точке области соответствует единственная точка то числа (прямоугольные декартовы координаты точки совместно с системой точно указывают положение точки в области Числа и называются криволинейными координатами точки

Определение. Криволинейными координатами точки Р, имеющей в качестве прямоугольных декартовых координат числа называются прямоугольные декартовы координаты точки - образа точки Р — при отображении (2.2) (гомеоморфном в некоторой области D).

Числа мы вправе назвать координатами точки Р (в области потому, что по заданной точке Р можно из формул (2.2) найти соответствующие ей единственные значения , наоборот» по заданным числам можно найти соответствующую им единственную точку Р (например» предварительно найдя по из формул (2.2)

единственные значения прямоугольные координаты точки . Поэтому точку Р можно обозначить так:

Определение. Множество точек области имеющих одну из своих криволинейных координат постоянной или называется координатной линией в данной системе криволинейных координат.

Координатная линия в плоскости определяется уравнением

а координатная линия -уравнением

Совершенно ясно, что координатные линии (2.2) в данной системе — это не что иное, как линии уровня (II, 143) соответствующих функций.

Координатными линиями служат, вообще говоря, кривые линии, но в частном случае аффинн ого отображения (1.8) они — прямые; в заданной декартовой прямоугольной системе координатные линии — прямые, параллельные осям а именно: . Координатные линии - криволинейной системы координат в плоскости суть отображения прямых параллельных осям т. е. координатных линий прямоугольной системы в плоскости

При различных значениях (таких, что соответствующая точка не выходит из области образуются две системы координатных линий (т. е. две сети кривых (II, 143) соответствующих функций), покрывающих область и разбивающих ее на криволинейные четырехугольники (черт. 9); иногда эти сети кривых называются изотермическими сетями для данного отображения. Если функции (2.2) линейные (отображение аффинное), то эти четырехугольники — параллелограммы.

Каждая из координатных линий отмечена числом или указывающим постоянное значение, которое имеет на этой линии функция Эти числа и являются криволинейными координатами точки, лежащей в пересечении соответствующих координатных линий (черт. 9). Можно дать здесь определение функциональной шкалы, аналогичное определению в линейном случае (п° 32).

Определение. Область плоскости точки которой отмечены их криволинейными координатами называется функциональной шкалой для обратной системы функций

По функциональной шкале значения аргументов прямо прочитываются, а соответствующие значения функций находятся при помощи измерений расстояний этой точки от осей координат

В некоторых случаях криволинейные координаты на плоскости имеют простой и наглядный геометрический смысл {см. ниже § 3).

Итак, в первой изложённой нами интерпретации системы функций (2.2):

(см. гл. I) величины и к (подобно величинам ) рассматриваются в качестве прямолинейных (и прямоугольных) координат. При этом равенства (2.2) являются формулами отображения заданной области в новую область. Во второй описанной только что интерпретации величины и и у рассматриваются в качестве новых криволинейных координат точки, имеющей своими прямолинейными координатами величины х и у. При этом равенства (2.2) являются формулами преобразования (замены) заданной системы, координат в новую систему.

Черт. 9.

Коротко скажем, что на равенства (2.2) можно смот ретъ либо как на формулы, преобразующие область при одной и той же системе координат (декартовой прямоугольной), либо как на формулы, преобразующие систему координат в одной и той же области.

Иногда могут быть одновременно употреблены обе указанные интерпретации.

Заметим также, что параметрические уравнения

поверхности можно рассматривать либо как уравнения, отображающие соответствующую область плоскости на поверхность либо как уравнения, определяющие криволинейные координаты точки поверхности