42. Вырожденные эллиптические координаты. Униформизация.

Выражения для (в п° 41) упрощаются, если вместо переменных ввести другие переменные — обозначим их через — связанные с соотношениями:

Заметим, что связь между и может быть записана в другом виде, например так:

Подставляя выражения для формулы для (п° 41), находим:

здесь — функции соответственно от получаемые посредством обращения интегралов (2.15). Применяя к первому из этих интегралов подстановку а ко

второму подстановку без особого труда получим:

Выражая из равенств найдем:

и значит,

поэтому

Оказывается, что введение вместо криволинейных координат криволинейных координат и определяемых через по формулам (2.15), позволяет не только упростить выражения для элементов длины и площади, но и расширить область гомеоморфизма в плоскости Для того, чтобы убедиться в этом, найдем прямую связь между декартовыми координатами и новыми координатами

Подставляя в формулы (2.14) вместо и и их выражения через получим:

или, принимая

при этом формулы имеют вид:

В силу этих соотношений каждой точке в области (черт. 15) могут быть поставлены в соответствие четыре точки но каждой точке соответствуют также четыре точки в плоскости , как мы сейчас увидим, это дает возможность установить гомеоморфное соответствие между всеми точками плоскости (за исключением

точек лишь некоторого интервала) и точками некоторой полуполосы в плоскости

Формулы (2.15), связывающие переменные с переменными и превращающие неоднозначное соответствие между точками плоскости и точками плоскости (в полуполосе А) в однозначное соответствие между точками и точками плоскости называются униформизирующими формулами, а переменные -униформизирующими переменными.

Отбрасывая индекс перепишем формулы (2.16):

причем

Именно так заданные криволинейные координаты и и собственно и называют чаще всего эллиптическими. Ясно, что координатными линиями будут те же софокусные (с фокусами в точках взаимно-ортогональные эллипсы и гиперболы (при уравнения их запишутся соответственно так:

Любой точке соответствует единственное значение координаты и и четыре возможных значения координаты Действительно, если удовлетворяет уравнению то ему удовлетворяют также причем всегда можно считать, что Эти же значения соответствуют и трем другим точкам Симметричным точке относительно осей и начала координат. Следовательно, если, разрешая уравнение относительно мы отнесем точке лежащей в первом квадранте, значение координаты точке -значение точке — значение точке — значение то тем самым мы установим взаимно-однозначное соответствие между точками

плоскости исключением полуоси и точками плоскости координаты которых подчинены условиям: Можно сказать, что взаимнооднозначное соответствие здесь достигнуто тем, что частям гиперболы

принадлежащим первому, второму, третьему, четвертому квадрантам, приписываются соответственно индексы (черт. 16).

Черт. 16.

Что касается полуоси то в каждой ее точке координата равна нулю, а координата может принимать два значения (для полуоси ) или (для интервала ) где Если точка принадлежит интервалу то при приближении к ней сверху - (т, е. при у > 0) следует считать (по непрерывности), что а если снизу (т. е. при у < 0), то следует считать, что (см. черт. 16). Если точка принадлежит интервалу [0,1], то при приближении к ней сверху следует считать, что а снизу, что

Если же точка принадлежит полуоси то при приближении к ней сверху следует считать , а снизу Эллиптическая координата как функция точки на плоскости разрывна на полуоси при переходе точки через эту полуось функция получает приращение, равное для участка равное для участка [0, 1] и равное для участка

Система (2.16) гомеоморфно отображает всю плоскость из которой удалена полуось от точки до в область плоскости являющуюся бесконечной полуполосой, ограниченной полупрямыми:

При этом верхняя сторона полуоси от точки до отображается в полуось а ее нижней стороне соответствует по непрерывности полуось верхняя сторона интервала [1, —1] оси отображается в интервал [0, к] оси и нижняя сторона интервала в интервал той же оси

Легко видеть, что

Итак, частный случай общих эллиптических координат (2.14), когда вместо переменных и и берутся соответственно функции представляет особый интерес благодаря получающейся простоте выражений для элементов длины и площади и значительному расширению области гомеоморфизма.

Кроме того, как это обнаруживается в теории функций комплексной переменной, система, функций (2.16) может быть заменена весьма простой — эквивалентной ей — одной функцией комплексной переменной, в то время как функция комплексной переменной, заменяющая общую систему (2.14); не является достаточно простой. этим связано то легко проверяемое обстоятельство, что система (2.16) дает регулярное (п° 23) отображение, в то время как отображение (2.14% вообще говоря, не является регулярным.

Эллиптические координаты (2.16) для отличия от эллиптических координат в общем случае (2.14) следовало бы называть вырожденными эллиптическими координатами.

Наконец, заметим, что вырождением эллиптических координат являются и полярные координаты. Действительно, если в равенствах (2.14) положить а затем заставить то в пределе мы и придем к системе полярных координат (2.12); здесь полярные координаты также оказываются униформизирующими переменными.