82. Вычисление интегралов.

Вычисление интегралов (4.2) производится при помощи кратного интегрирования, т. е. посредством вычислений обыкновенных (ординарных) интегралов; эти вычисления сводятся в конечном счете к отысканию первообразных функций одной независимой переменной (II, 171 —175, 181—196). Характер вычислений при этом зависит, конечно, от того, к какой системе координат отнесена область интегрирования. Если этой системой

служит система декартовых прямоугольных координат или то записи интегралов (4.2) имеют вид:

Если линия может быть задана уравнениями

где — дифференцируемые функции параметра и в некотором интервале то интеграл 1) выражается так:

Если линия может быть задана уравнениями

где — дифференцируемые функции параметра в некотором интервале то интеграл выражается так:

Если область обладает тем свойством, что всякая прямая, параллельная оси (координатная линия х = const), цмеет не больше одной, точки «входа» в область

чит, не больше одной точки «выхода» из нее), то интеграл 3) выражается так:

где — соответственно ординаты точек «входа» и «выхода» из области линии а интервал есть наибольший интервал изменения координаты в области

Если поверхность может быть задана уравнениями где дифференцируемые функции параметров в некоторой области то интеграл 4) выражается так:

где -коэффициенты Гаусса поверхности для координат (см. п°51).

Если область 6 обладает тем свойством, что всякая прямая, параллельная оси (координатная линия — имеет не больше одной точки «входа» в область 6 (и, значит, не больше одной точки «выхода» из нее), а проекция области 6 на плоскость обладает свойством, указанным выше для плоской области то интеграл 5) выражается так:

где — соответственно аппликаты точек «входа» и «выхода» из области 6 линии — соответственно ординаты точек «входа» и «выхода» из проекции области 6 на плоскость линии а. интервал есть наибольший интервал изменения координаты в области 6.

В том случае, когда область интегрирования не удовлетворяет указанным условиям, она разбивается на такие части, чтобы каждая из них удовлетворяла этим условиям (возможность такого разбиения всегда предполагается). Тогда»

в "силу свойства аддитивности, интеграл представляется в виде суммы интегралов, каждый из которых описанным выше образом вычисляется с помощью обыкновенных (ординарных) интегралов.