§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ. ПРИМЕРЫ

87. О вычислении преобразованного интеграла.

Целью изученной в § 2 замены переменных в интеграле является придание подынтегральному выражению или области интегрирования другого вида, более простого в том или ином отношении. Примеры упрощений будут приведены ниже.

Вычисление преобразованного интеграла при условии, что система координат рассматривается как система декартовых координат (интегралы справа в формулах (4.6)), производится, как уже было сказано, сведёнием его к кратным интегралам в отображенной области по известным правилам, указанным в § 1.

Если же система координат рассматривается как система криволинейных координат, то так же, как и в случае декартовых координат, вычисление многомерного интеграла (4.7) производится обычно с помощью кратного интегрирования; такой метод вычисления основывается на тех же соображениях, что и в случае декартовых координат. Обыкновенные (ординарные) интегралы, которые при этом берутся, получают специальную интерпретацию в соответствии с геометрическим смыслом данной системы криволинейных координат.