34. Ортогональность системы.

В том случае, когда всякие две координатные линии из различных систем пересекаются под прямым углом, система криволинейных координат в плоскости называется прямоугольной или ортогональной» (Криволинейные ортогональные, координаты иногда обозначают буквами

Найдем условия ортогональности системы (2.2) и выражения для элемента длины и элемента площади в криволинейных ортогональных координатах. Эти выражения часто встречаются в применениях криволинейных координат.

Возьмем точку с криволинейными координатами Уравнение касательной прямой к координатной линии очевидно, есть (II, 162):

Аналогично уравнение

есть уравнение касательной прямой в точке к координатной линии Искомым условием взаимной

перпендикулярности прямых (2.3) и как известно, является (если считать точку произвольной):

(см., например, И. И. Привалов, Аналитическая геометрия). Это равенство удобно записать с помощью символа

обозначающего здесь сумму двух слагаемых: выражения, заключенного в скобки и подобного ему, получающегося заменой на у.

Легко заметить, что всякое регулярное отображение (см. определяет систему ортогональных криволинейных координат. Разумеется, обратное не всегда справедливо: системе ортогональных криволинейных координат может соответствовать нерегулярное отображение.

Однако нам важно получить еще и другое условие ортогональности, отличное от условия (2.4). Для этого будем исходить не из системы (2.2), а из системы, обратной ей:

Тогда уравнения касательных в точке к линиям запишутся соответственно в виде:

поэтому условие ортогональности системы криволинейных координат можно представить так (считая точку произвольной):

или короче