91. Определение и свойства интеграла.

Перейдем теперь определению криволинейного интеграла по координате (например, по ).

Определение. Пусть ориентированная конечная линия разбита произвольным образом на частичных ориентированных дуг, Р есть произвольная точка 1-й частичной дуги — проекция этой дуги на ось Тогда криволинейным интегралом по координате

от функции по линии на которой функция непрерывна, называется предел интегральной суммы

при и стремлении к нулю наибольшей длины частичных дуг.

Каждый член интегральной суммы есть произведение значения интегрируемой функции в произвольной точке частичной ориентированной дуги на приращение координаты соответствующее этой дуге. Аналогично определяется интеграл по той же линии от той же функции по другой декартовой координате: у или или какой-нибудь координате иной системы, например по полярному углу плоской линии

При задании криволинейного интеграла по координате нужно указывать не только линию—: область интегрирования, но и ее ориентацию.

Можно показать (в теореме существования), что интегральная сумма для криволинейного интеграла всегда при указанных условиях действительно имеет предел, не зависящий ни от способа последовательного разбиения линии на частичные дуги, ни от выбора точек

В частности, если линией интегрирования служит интервал оси то криволинейный интеграл по координате есть просто обыкновенный (ординарный) интеграл, взятьгй по указанному интервалу в направлении от левого. конца к правому или, наоборот, от правого к левому в зависимости от заданной ориентации (т. е. в зависимости от того по верхней или по нижней стороне оси Ох производится интегрирование).

Криволинейный интеграл по координате, так же как и интеграл по мере области (п° 81), обладает свойствами.

линейности и аддитивности, т. е.

Кроме того, криволинейный интеграл по координате обладает специфическим свойством, связанным с ориентацией линии интегрирования, а именно:

III. Перемена ориентации линии интегрирования изменяет знак интеграла на обратный:

через обозначена одна и та же линия, но при противоположных ориентациях.

Это свойство в свою очередь обусловливает следующее важное свойство криволинейного интеграла по координате:

IV. Если точки замкнутого контура соединить линиями так, что образуется замкнутых контуров ориентированных так же, как и данный контур то интеграл по координате по всей линии будет равен сумме интегралов, по линиям

Доказательство непосредственно вытекает из аддитивности интеграла и его свойства изменять знак при перемене ориентации контура интегрирования. Действительно, каждая вспомогательная линия проходится при интегрировании в конечном счете два раза, во взаимно-противоположных направлениях (черт. 27), и в результате остаются только интегралы по частям линии в сумме дающие интеграл по всему этому контуру.

Черт. 27.

Здесь уместно заметить, что по отношению к обыкновенному интегралу имеет место формула замены переменной, подобная формуле замены переменной в (одномерном) интеграле по длине, но учитывающая ориентацию области интегрирования, а именно:

где — формула, отображающая ориентированный интервал X оси на данный ориентированный интервал оси . Мы видим, что в формуле (4.9) в отличие от формулы множителем в новом подынтегральном выражении вместо модуля производной отображающей функции (коэффициента искажения ) берется просто производная. Интересно, что формула (4.9) справедлива и без предположения о гомеоморфности отображения , причем это последнее обстоятельство нельзя перенести на многомерные интегралы.

Простое доказательство формулы (4.9) основывается на формуле с учетом знаков производной на отдельных участках интервала X (ср. с доказательством, приводимым ниже для двумерного случая). Формула (4.9) как раз обычно и известна из общего курса анализа (см. I, 107).