96. Способы вычисления.

Пусть поверхность задана параметрическими уравнениями:

где — дифференцируемые функции переменных (параметров) в ориентированной области А плоскости соответствующей заданной ориентированной поверхности интегрирования 5. В этом случае поверхностный интеграл по координатам может быть вычислен по формуле

где Роль параметров могут выполнять и переменные интегрирования .

Формула по существу, обобщает формулу (4.10), относящуюся к случаю, когда поверхностью служит область плоскости

При необходимости поверхность разбивается на части и значение всего интеграла находится как сумма интегралов, вычисляемых по формуле

Таким образом, вычисление всякого поверхностного интеграла приводится к вычислению двойных интегралов.

Пример. Найдем интеграл

взятый по внешней стороне части сферы находящейся в первом и восьмом координатных углах:

Примем здесь в качестве параметров в уравнении сферы координату х и у. Но тогда аппликату нельзя выразить однозначной функцией от этих параметров для всей поверхности интегрирования ,

Разобьем ее на две части: лежащую над плоскостью лежащую под ней. Их уравнениями соответственно будут Имеем;

и так как второй интеграл в правой части берется по нижней стороне части сферы, заключенной в восьмом координатном углу, то и мы получаем:

где — верхняя сторона указанной части. Теперь в обоих интегралах

Преобразуя поверхностные интегралы в двойные, находим:

где — четверть круга лежащая в первом координатном углу плоскости являющаяся проекцией

Двойной интегралг вычислим, заменяя декартовы координаты полярными:

Поверхностный интеграл по координатам тесно связан с соответствующим интегралом по площади поверхности. Эти интегралы просто выражаются друг через друга.

Мы имеем (п°94, стр. 258):

где элемент (дифференциал) площади поверхности в ее точке — проекций ориентированного элемента этой поверхности в точке Р на плоскость

угол, образованный ориентированной нормалью к поверхности в точке Р с осью

Значит,

Аналогично связаны с интегралами по площади и интегралы по другим координатам.

Эти соотношения позволяют изучать интегралы одного типа посредством изучения интегралов другого типа, в частности интегралы по ориентированным поверхностям, через интегралы по площади.

Нет нужды специально останавливаться на том, что аналогично другим типам интегралов и здесь могут быть введены понятия несобственных поверхностных интегралов по координатам.