37. Другой вывод.

С точки зрения некоторых применений криволинейных координат представляет интерес иной ход рассуждений при выводе выражений для минующий предварительное выяснение связи между величинами

Так как проекции на оси вектора нормального к координатной линии в точке (т. е. к прямой (2.3)), равны соответственно то, считая точку произвольной, получим следующие выражения для направляющих косинусов нормали:

Используя введенные выше обозначения (2.6), перепишем эти равенства в виде:

и аналогично:

Теперь возьмем от функции производную по направлению нормали к ее линии уровня Имеем (II, 148):

т. е.

Аналогично получим:

По самому смыслу производной по направлению (II, 148) имеем:

где — дифференциал функции и, соответствующий бесконечно малому перемещению по нормали величина этого перемещения (черт. 10). Поэтому из найденных соотношений следует, что расстояние между бесконечно близкими координатными линиями (или равно:

Следовательно,

Так как суть проекции на оси единичного нормального вектора, — проекции на те же оси вектора касательной к дуге длиною то на основании свойств скалярного произведения заключаем, что есть проекция на направление нормали того же касательного вектора (см. черт. 10). Аналогично есть проекция этого вектора на нормаль Из этого, а также из взаимной ортогональности векторов вытекает, что

С другой стороны, исходя из условий ортогональности (2.5), как и выше (стр. 85), находим другое представление

Сравнивая теперь два полученных выражения для обнаруживаем связь между величинами независимо от этого находим выражение для элемента площади