22. Направление перемещения.

Покажем теперь, что знак якобиана отображающей системы функций обусловливает направление перемещения отображенной точки. Именно, если

то при перемещении точки в положительном (отрицательном) направлении по какому-нибудь замкнутому контуру I в некоторой окрестности точки образ точки Р — точка перемещается в том же положительном (отрицательном) направлении по замкнутому контуру образу контура если же

то точка перемещается в обратном, т. е. в отрицательном (положительном), направлении по контуру .

В самом деле, будем рассуждать от противного. Пусть, например,

а при положительном перемещении точки Р вдоль некоторого замкнутого контура в достаточно малой окрестности точки точка на каком-нибудь малом участке контура X передвигается не в положительном, а в отрицательном направлении, т. е. оставляет область, ограниченную контуром X, не слева, а справа. Покажем, что этого быть не может. Построим такой треугольник с вершиной в точке чтобы одна его сторона с нужной степенью точности заменяла прообраз участка Взятый треугольник достаточно мал и его образ с как угодно малой ошибкой мы можем считать также прямолинейным треугольником: одна из его сторон с назначенной точностью заменяет участок , значит, вдоль этой стороны отображенная точка передвигается в отрицательном направлении. Если обозначить теперь через алгебраические величины площадей указанных треугольников соответственно в плоскостях то мы можем записать соотношение:

где — бесконечно малая величина высшего порядка. Из него следует, в силу оговоренных условий, что (ибо на знак правой части не оказывает влияния слагаемое высшего порядка малости), а это противоречит предположению об отрицательном направлении обхода точкой треугольника в плоскости

Из сформулированного локального свойства вытекает еле дующее аналогичное свойство для целой области:

Если всюду в области то направление перемещения («вращения») точки в области А совпадает с направлением перемещения («вращения») ее прообраза — точки в области а если то эти направления противоположны.

Это свойство сохраняется, как легко понять, и при более широком допущении, что сохраняя в области знак, обращается в нуль в конечном числе точек этой области.

Полученные результаты становятся сразу понятными, если заметить, что в бесконечно малой окрестности точки с точностью до бесконечно малых величин высших порядков дифференцируемое отображение является аффинным отображением, определитель которого равен якобиану системы в точке Действительно, мы имеем:

где — величины высшего порядка малости, чем . Отбрасывая здесь и сравнивая полученные линейные функции с общей формой аффинного отображения. (1.8), находим:

Для такого аффинного отображения определитель равен как раз якобиану данного отображения в точке

Всякое дифференцируемое отображение является «локально аффинным», и поэтому естественно, что в бесконечно малой области оно обладает теми же свойствами, что и аффинное отображение во всей плоскости.