88. Двойной интеграл.

Рассмотрим приведение двойного интеграла к двукратному интегралу для важнейших систем криволинейных координат на плоскости и соответствующие примеры преобразований интегралов от декартовых прямоугольных координат к криволинейным.

I. Полярные координаты. Пусть дан интеграл

где — полярные координаты точки плоской области (для большей наглядности здесь мы взяли обычные обозначения полярных координат; см. п°39). При вычислении этого интеграла посредством двух однократных интегрирований по и по следует различать два случая: а) полюс системы лежит вне области (или на ее границе); б) полюс системы лежит в области

а) Если область обладает тем свойством, что любой луч, исходящий из полюса (координатная, линия ), имеет не больше одной точки «входа» в область (и, значит, не больше одной точки «выхода» из нее), то

где — полярные радиусы соответственно точек «входа» и «выхода» из области прямой линии а интервал есть наибольший интервал изменения координаты в области (Другой порядок интегрирования, когда сначала интегрирование производится по а затем по обычно не применяется.)

б) Если область обладает тем свойством, что любой луч, исходящий из полюса (координатная линия ), имеет одну точку «выхода» из области (т. е. если

область как говорят, звездная относительно полюса), то

где — полярный радиус точки выхода из области линии — полярное уравнение линии — границы области

Пример 1. Пусть

где — круг, ограниченный окружностью (окружность с центром в точке радиуса а, проходящая через начало координат), а функция Ф (6) непрерывна при Вычисление этого интеграла с помощью двукратного дает:

или

Гораздо проще выглядят и двойной и соответствующий двукратный интегралы, если перейти к полярным координатам:

причем в системе полярных координат уравнение окружности, ограничивающей круг будет Значит,

Если рассматривать формулы замены переменных как формулы, отображающие круг на декартову плоскость то

где криволинейная трапеция, ограниченная интервалом

оси и косинусоидой

Пример 2. Пусть

где — вся плоскость без какой-нибудь окрестности точки . Перейдем к полярным координатам:

где — радиус окружности, ограничивающей исключаемую окрестность начала координат. Отсюда видно, что данный несобственный интеграл (в смысле главного значения) существует, если и тогда он равен он не существует, если (То же самое имеет место и для интеграла распространенного на всю плоскость без какой-нибудь области, содержащей точку Легко доказать, что полученные результаты относятся вообще к рассматриваемому несобственному интегралу, а не только, к главному его значению.

Пример 3. Пусть

где — какая-нибудь окрестность точки (эта окрестность ограничена окружностью радиуса Переходя к полярным координатам, найдем:

Отсюда видно, что данный несобственный интеграл (в смысле главного значения) существует, если (и тогда он равен ); он не существует, если (То

же самое имеет место и для интеграла взятого по какой-нибудь конечной области, содержащей точку Легко доказать, что полученные результаты относятся вообще к рассматриваемому несобственному интегралу, а не только к его главному значению.

II. Другие координаты. Вполне аналогично приводится двойной интеграл к двукратным в случае других криволинейных координат.

Если же система координат не имеет простого геометрического смысла, то при замене переменных в двойном интеграле удобнее пользоваться первой Интерпретацией формул преобразования, чем второй, т. е. удобнее представлять преобразованный интеграл в виде (4.6), чем в виде (4.7), и, значит, сохранять систему декартовых координат, но в другой, отображенной, области.

Пример 4. Пусть

где — область, ограниченная эллипсом а функция непрерывна при . В декартовых координатах этот интеграл выражается довольно сложным двукратным интегралом (и совпадение левой части уравнения эллипса с аргументом подынтегральной функции нисколько не облегчает вычислений). Но если перейти к обобщенным полярным координатам, связанным с декартовыми координатами формулами (см. п°40)

где — положительные константы, то всё значительно упрощаете Имеем:

причем в системе обобщенных полярных координат уравнением эллипса, ограничивающего область будет Интегрируя сначала по при постоянном, но произвольном у, а затем по в границах наибольшего изменения этой переменной в области т. е. в интервале получим:

Мы видим, насколько проще стало интегральное выражение для величины

Пример 5. Пусть

где — треугольник, ограниченный прямыми: непрерывные функции своих аргументов. Имеем в данных координатах:

Однако заменим переменные интегрирования новыми переменными в соответствии с формулами:

Обращая эти равенства, находим:

Отсюда видно, что формулы преобразования гомеоморфно отображают всю плоскость лишенную прямой на плоскость причем треугольник отображается в квадрат А, ограниченный прямыми: (Заметим, что Точке (0,0) треугольника соответствует отрезок:

Так как

то

и, значит,

Хотя подынтегральное выражение заметно не упростилось, но зато область интегрирования в новых координатах оказалась просто квадратом, так что преобразованный двойной интеграл привелся к двукратному интегралу с постоянными пределами.

Если

Первый из интегралов в правой части есть так называемый эйлеров интеграл первого рода; он обозначается символом («бета от и ). Нетрудно (с помощью замены переменной показать, что ,

следовательно, мы приходим к формуле

которая называется формулой Лиувилля . В частности, находим значение так называемого интеграла Дирихле:

Если то имеем:

Вычисляя интеграл слева в декартовых координатах, получаем соотношение

выражающее одно из свойств эйлерова интеграла

Пример 6. Пусть

где первый квадрант плоскости причем Нетрудно убедиться, хотя бы при помощи усиления подынтегрального выражения заменой множителя единицей, что этот несобственный интеграл сходится. Очевидно, имеем:

Каждый из этих интегралов есть так называемый эйлеров интеграл второго рода. Он обозначается символом Г («гамма») от соответствующего параметра: Итак:

Однако произведем в данном двойном интеграле замену переменных по формулам (пример 5):

Первому квадранту в плоскости соответствует бесконечная полоса А в плоскости ограниченная прямыми: Имеем:

Приводя последний двойной интеграл к двукратному, получим:

Первый из интегралов справа есть, как известно (см. пример 5), эйлеров интеграл рода а второй — эйлеров интеграл рода Значит,

что дает важное соотношение между эйлеровыми интегралами 1-го и 2-го родов. Его записывают обычно так:

Благодаря соотношению (4.8) можно, между прочим, интегралу Дирихле (пример 5) придать очень удобный вид: