Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
88. Двойной интеграл.Рассмотрим приведение двойного интеграла к двукратному интегралу для важнейших систем криволинейных координат на плоскости и соответствующие примеры преобразований интегралов от декартовых прямоугольных координат к криволинейным. I. Полярные координаты. Пусть дан интеграл
где а) Если область
где б) Если область область
где Пример 1. Пусть
где
или
Гораздо проще выглядят и двойной и соответствующий двукратный интегралы, если перейти к полярным координатам:
причем в системе полярных координат уравнение окружности, ограничивающей круг
Если рассматривать формулы замены переменных как формулы, отображающие круг
где
оси Пример 2. Пусть
где
где Пример 3. Пусть
где
Отсюда видно, что данный несобственный интеграл (в смысле главного значения) существует, если же самое имеет место и для интеграла II. Другие координаты. Вполне аналогично приводится двойной интеграл к двукратным в случае других криволинейных координат. Если же система координат не имеет простого геометрического смысла, то при замене переменных в двойном интеграле удобнее пользоваться первой Интерпретацией формул преобразования, чем второй, т. е. удобнее представлять преобразованный интеграл в виде (4.6), чем в виде (4.7), и, значит, сохранять систему декартовых координат, но в другой, отображенной, области. Пример 4. Пусть
где
где
причем в системе обобщенных полярных координат уравнением эллипса, ограничивающего область
Мы видим, насколько проще стало интегральное выражение для величины Пример 5. Пусть
где
Однако заменим переменные интегрирования новыми переменными
Обращая эти равенства, находим:
Отсюда видно, что формулы преобразования гомеоморфно отображают всю плоскость Так как
то
и, значит,
Хотя подынтегральное выражение заметно не упростилось, но зато область интегрирования в новых координатах оказалась просто квадратом, так что преобразованный двойной интеграл привелся к двукратному интегралу с постоянными пределами. Если
Первый из интегралов в правой части есть так называемый эйлеров интеграл первого рода; он обозначается символом следовательно, мы приходим к формуле
которая называется формулой Лиувилля
Если
Вычисляя интеграл слева в декартовых координатах, получаем соотношение
выражающее одно из свойств эйлерова интеграла Пример 6. Пусть
где
Каждый из этих интегралов есть так называемый эйлеров интеграл второго рода. Он обозначается символом Г («гамма») от соответствующего параметра:
Однако произведем в данном двойном интеграле замену переменных по формулам (пример 5):
Первому квадранту в плоскости
Приводя последний двойной интеграл к двукратному, получим:
Первый из интегралов справа есть, как известно (см. пример 5), эйлеров интеграл
что дает важное соотношение между эйлеровыми интегралами 1-го и 2-го родов. Его записывают обычно так:
Благодаря соотношению (4.8) можно, между прочим, интегралу Дирихле (пример 5) придать очень удобный вид:
|
1 |
Оглавление
|