3. Обращение. Гомеоморфизм.

Пусть задано отображение интервала оси в интервал X оси . Под обращением данного отображения понимают отображение, которое приводит в соответствие те же точки, что и данное отображение, но в обратном порядке, т. е. точкам интервалах

оси ставятся в соответствие точки интервала оси Сами отображения при этом называются взаимно-обратными. Оригинал (прообраз) в данном отображении делается в обратном отображении образом, а образ—оригиналом. Ясно, что отображение, обратное данному, осуществляемому функцией производится функцией обратной функции значит, обозначается обратная функция).

Может случиться, что отображение, обратное данному однозначному отображению, уже не будет однозначным. Так, если двум различным точкам оси соответствует одна и та же точка оси (см. черт. 1), то при обратном отображении (с оси на ось ) одной точке будут соответствовать по меньшей мере две точки , следовательно, это отображение уже не будет однозначным. Еще пример: отображение, обратное отображению (см. черт. 2), не будет однозначным; в интервале оно двузначно, в интервале — однозначно! в интервале — двузначно.

В первом примере точка служит образом двух точек оси говорят в этом случае, что точка при отображении покрывается дважды. Вообще, говорят, что данная точка оси покрывается при отображении интервала оси раз, если она является образом точек (различных или нет) интервала т. е. если уравнение

относительно имеет действительных (различных или равных) корней, принадлежащих интервалу Поэтому во втором примере интервал при отображении и (черт. 2) покрыт дважды (так как дважды покрыта каждая его точка), интервал покрыт однократно, интервал покрыт дважды. Интервал — образ интервала мы можем представлять себе как бы слоистым: одна его часть, первая (черт. 2), состоит из двух, лежащих Друг на друге интервалов , вторая — из одного интервала третья — из двух интервалов

Если обратное отображение также однозначно, то такие отображения называют взаимно-однозначными или

одно-однозначными. Ясно, что данное отображение интервала на оси будет взаимно-однозначным, если каждой точке этого интервала соответствует одна точка на оси и каждым двум различным точкам этого интервала соответствуют две различные же точки на оси

Определение. Взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное отображение интервала (в интервал) называется гомеоморфным.

Мы будем говорить, что отображение гомеоморфно в точке (локально гомеоморфно), если существует такая окрестность точки Р, что в ней данное отображение гомеоморфно.

При гомеоморфном отображении интервал на оси преобразуется в некоторый однократно покрытый интервал на оси

Вопрос о гомеоморфизме непрерывного отображения есть, очевидно, вопрос об однозначности (и непрерывности) функции , или, как говорят, об однозначной обратимости функции (см. п° 6).

Например, аффинное отображение

если гомеоморфно на всей оси причем

Если а то отображение не только не гомеоморфно, но и не обратимо; вся ось отображается в одну точку. Это пример так называемого вырожденного отображения (см. п°27).

Отображение непрерывно на всей но не гомеоморфно. Оно, однако, гомеоморфно в каждой точке, кроме точки и в каждом интервале, не содержащем точку Все это легко усмотреть по графику, функции