§ 4. АФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

12. Определения.

Рассмотрим прежде всего простейшие среди всех непрерывных отображений (1.6) — так называемые аффинные отображения, определяемые линейными функциями:

— постоянные. Изучим характер перехода от точек области плоскости к соответствующим точкам области А плоскости при аффинном отображении.

Будем считать определитель системы (1.8) отличным от нуля:

При этом любой паре значений и и к соответствует единственная пара значений х и у, т. е. отображение (1.8) однозначно обратимо, и мы получаем для х и у линейные выражения:

где — постоянные. Мы приходим к выводу, что отображение, обратное аффинному, также аффинное.

Функции (1.8) и (1.8) непрерывны в соответствующих, плоскостях, и таким образом, аффинное отображение при неравенстве нулю его определителя гомеоморфно во всей плоскости.

Если же определитель системы (1.8) равен нулю: то мы имеем дело со случаем так называемого вырожденного или несобственного отображения (см. п° 27); читатель легко проверит, что вся плоскость отображается в одну прямую линию в плоскости (как бы «сжимается») и каждой точке этой прямой соответствует (т. е. является ее прообразом) бесконечное множество точек плоскости составляющих прямую линию. Итак, при аффинное отображение однозначно необратимо и, значит, не гомеоморфно.

Оказывается, что модуль определителя системы (1.8): и его знак существенно связаны с данным аффинным отображением. Это мы выясним в и 15.