26. Суперпозиция.
Доказанное в предыдущем пункте предложение является частным случаем следующей более общей теоремы:
Теорема. Если дифференцируемое отображение
является суперпозицией отображений
причем функции 
в соответствующих областях дифференцируемы, то
Из равенства (1.24), в частности, следует, что
т.е. коэффициент искажения суперпозиции (произведения) отображений равен произведению коэффициентов искажений промежуточных (вспомогательных) отображений.
Доказательство. Имеем (ср. п°19):
Прямо вычисляя определитель
получаем:
а это, как легко проверяется, равно
Еще проще поступить так: записать в виде определителей три рассматриваемых якобиана; 
и заметить, что первый из них, в силу известных свойств определителей, равен произведению двух других.
Применим доказанную теорему к случаю, когда система функций 
обратна системе функций 
т. е. когда в наших обозначениях 
Итак, пусть
и
причем эта обратная система функций, так же как и данная система, дифференцируема в рассматриваемых точках. Имеем; 
так как 
, то, в силу формулы (1.24) находим:
Мы получили снова соотношение (1.23), но уже без дополнительного условия, что 
Теперь мы можем заключить, что в точках 
являющихся образами точек Р, в которых 
обратное отображение обязательно недифферейцируемо. Действительно, если обратное отображение дифференцируемо, то существует 
и должна иметь место формула (1.23), бессмысленная при 
Нарушение дифференцируемости обратного отображения в точках, являющихся образами точек, в которых якобиан данного отображения равен нулю, не означает еще, как уже нам известно, нарушения и гомеоморфизма отображения. Например, отображение 
имеет при 
якобиан, равный нулю, а в то же время оно гомеоморфно в точке 
.
Соотношение (1.24) между якобианами промежуточных отображений и их суперпозиции вполне аналогично соотношению между производными промежуточных функций одной независимой переменной и составленной из них сложной функции (см. стр. 23).
Равенство (1.24) вполне ясно с точки зрения известного нам смысла якобиана как характеристики отображения.
