52. Элемент площади поверхности в криволинейных координатах в пространстве.

Пусть теперь в область пространства в которой находится поверхность вводится система криволинейных ортогональных координат с помощью равенств

Найдем выражение для элемента площади поверхности в криволинейных координатах определяемых системой (2.19).

Теорема. Для элемента площади поверхности в системе криволинейных ортогональных координат в пространстве имеем выражения:

Доказательство. Будем исходить из выражения для элемента площади в декартовых координатах

где — параметры поверхности или криволинейные координаты ее точек.

Найдем выражения для коэффициентов Гаусса Для коэффициента Е получаем:

что для ортогональной системы, в силу равенств (2.21) и принятых обозначений (2.22), имеет вид:

Для коэффициента совершенно аналогично получаем:

Для коэффициента находим:

что для ортогональной системы, в силу равенств (2.21) и принятых обозначений (2.22), имеет вид:

Таким образом,

и, значит,

ибо элементы площади соответственно в плоскостях равны:

В частности, из формулы (2.35) и получается доказываемая формула

Если поверхность задана уравнением между разрешенным относительно координаты, например то формулу (2.34) удобно представить в виде: