§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ И ИХ ВЫРОЖДЕНИЯ

41. Общие эллиптические координаты.

Криволинейные координаты связанные с декартовыми прямоугольными координатами х и у соотношениями:

называются эллиптическими; при этом заданные постоянные подчинены условиям а координаты принадлежат соответственно интервалам Следовательно, всегда

(черт. 13).

Черт. 13.

Координатными линиями служат софокусные (с фокусами в точках ) эллипсы и гиперболы, «канонически расположенные» в системе (черт. 14).

Черт. 14.

Действительно, есл то, исключая из двух равенств (2.14), получим:

т. е. каноническое уравнение эллипса с полуосями и с фокусами в точках и

С увеличением от до переменный эллипс один раз выметет всю плоскость Оху. Если то, рассуждая в точности, как в случае , получим:

или

т. е. каноническое уравнение гиперболы (ибо ) с полуосями и с фокусами в точках и С увеличением от до переменная гипербола один раз выметет всю плоскость

Разумеется, данная система эллиптических координат (2.14) Определяется заданием параметров подчиненных удловию

Из рассмотрения координатных линий и непосредственно из формул (2.14) видно, что каждой паре координат а и соответствуют четыре точки по одной в каждом квадранте, симметричные друг с другом относительно осей координат. Поэтому для гомеоморфизма необходимо ограничиться, во всяком случае, одним из квадрантов плоскости например первым: Для утверждения, что этот квадрант, а не какая-нибудь его часть, является областью гомеоморфизма системы эллиптических координат, нужно еще доказать, что каждой точке при соответствует одна пара чисел причем Докажем это.

Из системы равенств (2.14), связывающих между собой декартовы и эллиптические координаты, мы получили систему равенств , которую можно записать так:

Нетрудно убедиться, что и обратно, из двух равенств вытекает система (2.14). Следовательно, равенства и (2.14) эквивалентны. Нам остается показать, что при фиксированных уравнение относительно параметра

имеет два действительных корня причем Но это так и есть в силу следующего соображения. Функция

в каждом из двух открытых интервалов является непрерывной функцией параметра и при стремлении к граничным точкам интервала имеет противоположные знаки. Если то (вследствие того, что ); если то (вследствие того, что ); значит, обращается, по меньшей мере один раз, в нуль внутри интервала Если то а если то значит, обращается, по меньшей мере один раз, в нуль внутри интервала . Из этого вытекает, что в каждом из двух указанных интервалов находится точно один корень уравнения ибо корнями этого уравнения являются корни уравнения а оно второй степени и, стало быть, имеет ровно два корня. Полагая мы и находим ту единственную пару эллиптических координат, которая соответствует заданной точке первого квадранта.

Заметим, что система (2.14), задающая эллиптические координаты, гомеоморфно отображает каждый квадрант плоскости в бесконечную полуполосу Плоскости ограниченную прямыми:

(черт. 15).

В отличие от рассмотренных выше криволинейных координат на плоскости (декартовых, полярных) эллиптические

координаты, в общем случае, не имеют простой геометрической интерпретации. Эллиптические координаты иногда обозначаются через

Черт. 15.

Докажем теперь аналитически, что система эллиптических координат — ортогональная; для этого проверим справедливость критерия (2.5). Так как (см. уравнения (2.14))

(см. скан)

По формуле (2.6) получаем:

где

Аналогично

и, значит,

Далее, по формулам (2.8) и (2.9) находим выражения для