§ 2. КОЭФФИЦИЕНТ ИСКАЖЕНИЯ И ПРОИЗВОДНАЯ

5. Коэффициент искажения.

Если функция дифференцируема в интервале I, то отображение (1.1) называется также дифференцируемым. В дальнейшем всегда предполагается, что функция непрерывно дифференцируема, т. е. имеет непрерывную производную Для дифференцируемых отображений важной характеристикой служат производная , точнее, модуль производной и ее знак.

Выясним это. Рассмотрим отображение (1.1) в точке в ее окрестности). Функция и преобразует точки этой окрестности в точки распределенные, вообще говоря, иначе, чем исходные точки. Так, если взять точки оси распределенные равномерно (т. е. с неизменным расстоянием между каждыми двумя соседними точками), то они отобразятся в точки, распределенные, вообще

говоря, неравномерно: функция указанные точки оси в различных местах сгустит (или разрядит) по-разному. Только в одном случае всякое равномерно распределенное множество точек на оси преобразуется в равномерно же распределенное множество точек на оси а именно только в случае аффинного отображения (1.2). При этом отношение длины отображенного интервала (образа) к длине отображаемого интервала (прообраза) сохраняется постоянным. В самом деле, из равенства (1.2) имеем (I, 17):

и, значит,

Это число равное модулю производной показывает, во сколько раз изменяется длина любого интервала при аффинном его отображении (1.2); оно называется коэффициентом искажения (или коэффициентом растяжения) аффинного отображения

Если отображение (1.1) не аффинное, то «разброс» равномерно распределенных точек будет не одинаков и длины интервалов при отображении будут изменяться различно

для различных интервалов. Поэтому необходимо ввести локальное (т. е. относящееся к точке) понятие коэффициента искажения (или растяжения).

Определение. Коэффициентом искажения в точке отображения гомеоморфного в точке называется предел отношения длины отображенного интервала (на оси ) к длине соответствующего отображаемого интервала (на оси с началом в точке при неограниченном стягивании этого интервала к точке

Найдем выражение для коэффициента искажения. Вследствие гомеоморфности отображения в точке существует -окрестность, такая, что любой ее интервал с началом в точке преобразуется в однократно покрытый интервал оси длина его равна:

Следовательно,

т. е. коэффициент искажения в данной точке равен модулю производной отображающей функции в этой точке. В частности, в случае аффинного отображения коэффициент искажения оказывается величиной постоянной.

Итак, мы видим, что модуль производной отображающей функции показывает с точностью до бесконечно малых величин высших порядков, во сколько раз изменяется («искажается») бесконечно малая длина интервала (с началом в данной точке) при его отображении. Точно так же изменяется и длина любого другого бесконечно малого интервала, содержащего данную точку. Действительно,

всякий отрезок, содержащий данную точку является суммой двух интервалов с началом в этой точке; поэтому можно записать:

где — длины первого и второго бесконечно малых интервалов с началом в точке — длины их образов, — коэффициент искажения в точке бесконечно малые величины высших порядков. Складывая, получаем:

где -длина данного интервала, — длина его образа, — бесконечно малая величина высшего порядка. Но отсюда и следует что