Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
81. Основные свойства.Сформулируем в общем виде основные свойства интегралов по мере (II, 169, 170) применительно к интегралу вида (4.1). I. Интеграл (4.1) обладает свойством линейности, т. е.
где С — константы. II. Интеграл (4.1) обладает свойством аддитивности, т. е.
где III. Интеграл (4.1) обладает свойством ограниченности, т. е.
где
Отсюда, принимая во внимание известное свойство непрерывных функций, можно получить, как и обычно (I, 91; II, 170), так называемую теорему о среднем:
где IV. Интеграл (4.1) обладает свойством дифференцируемости (по мере области), т. е. (ср. II, 170):
где Обратным по отношению к свойству IV является следующее предложение, важное для применений интеграла. Значение в данной области Е аддитивной и непрерывно дифференцируемой функции
Таким образом, нахождение значений аддитивных функций приводится к отысканию их дифференциала (производной) и к последующему интегрированию этого дифференциала (производной). Интегралы (4.1) могут иметь различный физический смысл, что и объясняет широту применений понятия интеграла и большое его значение. Вместе с тем удобно пользоваться следующей единой и наглядной физической интерпретацией интегралов (4.1). Пусть в области Е непрерывно распределена некоторая субстанция (какая-нибудь материя, электричество, магнетизм и т.п.), количественно характеризуемая понятием «массы», обладающим свойством аддитивности (для электрик чества и магнетизма этот термин — масса — обычно заменяется термином «количество электричества или магнетизма» или «общий заряд»). Отношение «массы» к мере области, на которой она распределена, называется «средней плотностью» нашей субстанции, а предел «средней плотности» при условии, что область, относительно которой она берется, стягивается к некоторой точке (т. е. диаметр этой области стремится к нулю), называется «плотностью» в данной точке. Следовательно, «производная по области» (II, 170) от массы равна плотности, а дифференциал массы равен произведению плотности на элемент (дифференциал) меры области; поэтому интеграл от плотности равен всей массе. Итак, всякий интеграл
выражает «массу», распределенную по области интегрирования, причем функция Если
выражает меру области Е, т. е. он равен Пример. Возьмем так называемый интеграл Гаусса:
где Найдем значение Так как (п° 56)
то
где
где А—центральная проекция поверхности Если поверхность
Действительно, каждому элементу поверхности В том же случае, когда начало координат лежит внутри замкнутой поверхности
|
1 |
Оглавление
|