81. Основные свойства.

Сформулируем в общем виде основные свойства интегралов по мере (II, 169, 170) применительно к интегралу вида (4.1).

I. Интеграл (4.1) обладает свойством линейности, т. е.

где С — константы.

II. Интеграл (4.1) обладает свойством аддитивности, т. е.

где понимается просто совокупность всех к областей

III. Интеграл (4.1) обладает свойством ограниченности, т. е.

где — мера области Е, а и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции в области Е:

Отсюда, принимая во внимание известное свойство непрерывных функций, можно получить, как и обычно (I, 91;

II, 170), так называемую теорему о среднем:

где — некоторая средняя точка области

IV. Интеграл (4.1) обладает свойством дифференцируемости (по мере области), т. е. (ср. II, 170):

где переменная область, — дифференциал (элемент) ее меры (длины, площади, объема).

Обратным по отношению к свойству IV является следующее предложение, важное для применений интеграла.

Значение в данной области Е аддитивной и непрерывно дифференцируемой функции от переменной области равно интегралу, взятому по области Е от производной (или, можно сказать, от дифференциала) данной функции, т. е.

Таким образом, нахождение значений аддитивных функций приводится к отысканию их дифференциала (производной) и к последующему интегрированию этого дифференциала (производной).

Интегралы (4.1) могут иметь различный физический смысл, что и объясняет широту применений понятия интеграла и большое его значение. Вместе с тем удобно пользоваться следующей единой и наглядной физической интерпретацией интегралов (4.1).

Пусть в области Е непрерывно распределена некоторая субстанция (какая-нибудь материя, электричество, магнетизм и т.п.), количественно характеризуемая понятием «массы», обладающим свойством аддитивности (для электрик чества и магнетизма этот термин — масса — обычно заменяется термином «количество электричества или магнетизма» или «общий заряд»). Отношение «массы» к мере области, на которой она распределена, называется «средней плотностью» нашей субстанции, а предел

«средней плотности» при условии, что область, относительно которой она берется, стягивается к некоторой точке (т. е. диаметр этой области стремится к нулю), называется «плотностью» в данной точке. Следовательно, «производная по области» (II, 170) от массы равна плотности, а дифференциал массы равен произведению плотности на элемент (дифференциал) меры области; поэтому интеграл от плотности равен всей массе. Итак, всякий интеграл

выражает «массу», распределенную по области интегрирования, причем функция точки Р области Е есть «плотность» (предполагается, что как «плотность», так и «масса» имеют, вообще говоря, алгебраический характер — они могут быть как положительными, так и отрицательными).

Если то интеграл

выражает меру области Е, т. е. он равен

Пример. Возьмем так называемый интеграл Гаусса:

где — некоторая поверхность («двусторонняя», см. ниже п° 94), сферический радиус точки на поверхности а — угол между нормалью, проведенной в точке поверхности к определенной ее стороне, и сферическим радиусом этой точки, так что О дает «массу» на поверхности распределенную на ней с плотностью, равной

Найдем значение интеграла Гаусса.

Так как (п° 56)

то

где — соответствующий элемент площади единичной сферы. Следовательно,

где А—центральная проекция поверхности на единичную сферу. Можно сказать, таким образом, что интеграл Гаусса равен алгебраической величине меры телесного угла поверхности

Если поверхность — замкнутая и начало координат находится вне ее то значение интеграла О для любой такой поверхности равно нулю:

Действительно, каждому элементу поверхности который виден из начала координат под данным телесным углом с положительной мерой соответствует другой элемент поверхности, видимый под тем же телесным углом, но для которого перед в интеграле должен быть взят знак «минус» (ибо для него будет отрицательным).

В том же случае, когда начало координат лежит внутри замкнутой поверхности значение интеграла также не зависит от вида поверхности; для любой такой поверхности интеграл равен площади поверхности единичной сферы, т. е.