30. Свойства якобиана. Зависимость функций.

Перечислим свойства якобиана системы трех функций.

I. Пусть дана система непрерывно дифференцируемых в окрестности точки функций

Если

и

то существует такая окрестность точки и такие непрерывно дифференцируемые в этой окрестности функции что

и

Другими словами, эта теорема означает, что при указанных условиях отображение в точке (т. е. в некоторой окрестности этой точки) гомеоморфно и непрерывно дифференцируемо.

Локальный гомеоморфизм в каждой точке области еще не означает гомеоморфизма отображения во всей области (ср. п° 24).

II. Соотношение между якобианами взаимнообратных дифференцируемых отображений имеет вид

Обратное отображение не дифференцируемо только в точках, являющихся образами точек, в которых якобиан данного отображения равен нулю. Однако гомеоморфизм в этих точках может иметь место.

III. Если отображение (1.30) является суперпозицией, дифференцируемых отображений (1.31), то оно также дифференцируемо и

IV. Необходимым и достаточным условием того, что отображение (1.27) дифференцируемое в области является вырожденным (несобственным), т. е. преобразующим область 6 пространства в некоторую поверхность пространства

или в некоторую линию пространства

где — дифференцируемые функции (или в точку), служит тождественное (в области 6) равенство нулю якобиана отображения:

Если функции связаны между собой дифференцируемым соотношением (1.32) (или ), в котором не участвуют независимые переменные, то эти функции называются зависимыми. Таким образом, сформулированная теорема дает необходимое и достаточное условие для зависимости между собой трех функций от трех независимых переменных.

Вырожденное отображение необратимо, т. е. не существует отображения, обратного данному. При равенстве же якобиана нулю лишь в изолированных точках заранее ничего нельзя сказать об обратимости (гомеоморфности) отображения: оно может быть обратимо, а может быть и необратимо.

Заметим, что с точки зрения «пространственных отображений» одна функция (или две функции) трех независимых переменных, например (или определяет всегда «вырожденное отображение»: область пространства преобразуется в интервал оси (или в плоскую область) и ясно, что якобиан в этом случае равен тождественно нулю, ибо следует считать, что либо одновременно либо только