ГЛАВА III. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

§ 1. СЛУЧАЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Дифференциальным выражением называется выражение, построенное из констант, независимых переменных, некоторой функции от них и ее производных (или дифференциалов).

В математическом анализе и его применениях часто используется преобразование дифференциальных выражений посредством замены независимых переменных или замены функции. Цель такого преобразования — придать рассматриваемому дифференциальному выражению другой, более простой в том или ином отношении вид.

Остановимся прежде всего на изложении приемов преобразования дифференциальных выражений в случае одной независимой переменной.

Пусть дано дифференциальное выражение

в котором функция и ее производные определены в некотором интервале оси

Рассмотрим преобразование выражения (3.1) отдельно при замене только независимой переменной при замене только функции у и при замене как независимой переменной так и ее функции у.

68. Замена независимой переменной.

Допустим, что вводится новая независимая переменная связанная с данной переменной зависимостью, которую мы предполагаем разрешенной относительно

причем функция является непрерывной со всеми своими производными до требуемого порядка; кроме того, .

Равенство (3.2) называется формулой преобразования (или замены) переменной. Задача состоит в том, чтобы в выражение (3.1) вместо подставить функцию и найти новое выражение, уже теперь через переменную и, для величины V. Для этого нужно знать, как выражаются через и аргументы функции Ясно, что ; дальше для решения поставленной задачи нужно, очевидно, выразить содержащиеся в равенстве (3.1) производные от функции по через производные по и от новой функции и данной функции .

В силу известных правил дифференцирования имеем:

здесь в правой части равенства штрихами обозначаются производные по и.

Далее находим:

Подставляя в формулу (3.1) данные и найденные выражения, мы и найдем искомое новое выражение для V:

Зависимость между «старой» переменной и «новой» переменной и, т. е. формула преобразования (3.2), может быть интерпретирована либо как формула,

отображающая данный интервал на оси в некоторый интервал X на оси либо как формула преобразования координат в интервале I (от прямоугольной координаты к криволинейной координате ). В первой из этих интерпретаций указанное преобразование выражения F (см. (3.1)) означает построение такого выражения что его значение в какой-нибудь точке интервала X равно значению заданного выражения в соответствующей точке интервала во второй интерпретации указанное преобразование означает построение такого выражения что его значение в каждой точке Р интервала в другой заданной системе координат равно значению исходного выражения в той же точке Р.

Если зависимость между разрешена относительно , то производная находится сразу прямым дифференцированием этой зависимости по . В окончательных формулах нужно только выразить через .

Пример 1. Пусть

где Ф — произвольная непрерывная функция. Преобразуем V к новой независимой переменной и при условии, что

Имеем:

Подставляя, находим:

Рассматривая дифференциальное уравнение

мы можем, заменив независимую переменную по формуле придти к уравнению или Решить которое уже не представляет труда, (однородное уравнение, II, 194); останется затем лишь вернуться к старой переменной чтобы найти решение заданного уравнения.

Пример 2. Пусть

Преобразуем V к новой независимой переменной и при условии что Имеем:

Подставляя, находим:

Мы видим, насколько упростилось выражение для V. Если например, задано дифференциальное уравнение (уравнение Эйлера, II, 208), то, заменив переменную по формуле получим уравнение легко решаемое:

т. е. возвращаясь к данной переменной:

Пример 3. Пусть

Преобразуем V к новой независимой переменной и при условии, что Имеем:

Подставляя, находим:

Таким образом, уравнение

с помощью указанной замены приводится к уравнению

общее решение которого составляется без труда (II, 204):

Значит,

Приведенное уравнение называется уравнением Чебышева. В частности, при имеем:

Пример 4 Преобразуем выражение для V в примере 2, полагая Тогда

Окончательно получаем:

т. е. то же самое выражение, что и исходное; говорят, что выражение инвариантно при замене переменной по формуле Это обстоятельство известным образом характеризует выражение; так, например, если есть решение дифференциального уравнения то, в силу указанной инвариантности, решением этого уравнения будет и функция т. е. что хорошо видно и по общему решению, найденному в примере 2. Сказанное дает повод привести общее определение.

Определение. Если выражение не изменяет своего вида при некотором преобразовании, то оно называется инвариантным относительно этого преобразования.

Важным частным случаем преобразования выражения (3.1) является тот, в котором в качестве новой «независимой переменной принимается сама функция у, т. е. в котором переменные х и у меняются ролями: у становится независимой переменной, ее функцией. Полагая мы получаем из соотношений формулы для выражения

(ибо здесь )

Пример 5. Пусть

Преобразуем V, принимая за новую независимую переменную у. Имеем по формулам

что значительно проще, чем заданное выражение. В частности, дифференциальное уравнение решается сразу: