56. Телесный угол.

Определение. Телесным углом данной поверхности S относительно данной точки О называется область пространства, ограниченная конической поверхностью с вершиной в точке О, причем направляющей конической поверхности служит граница поверхности S.

Говорят, что поверхность S видна из точки О «под ее телесным углом». Возьмем единичную сферу (т. е. сферу с радиусом, равным единице) с центром в точке О. Площадь части этой сферы с данным телесным углом называется мерой этого телесного угла. (Вспомним, что подобно этому

длина части единичной окружности, видимой под данным углом из центра окружности, называется мерой этого угла.)

Возьмем единичную сферу с центром в начале координат; ее уравнением в сферических координатах является Легко видеть (см. п° 55), что элемент площади этой единичной сферы — обозначим его через — равен (это легко усмотреть и из черт. 22); поэтому элемент объема в системе сферических координат можно представить так:

Таким образом (ср. со стр. 96), элемент объема в сферических (полярных) координатах равен умноженному на элемент меры телесного угла, под которым видна из начала координат поверхность, ограничивающая область.

Укажем связь между элементом площади данной поверхности и мерой его телесного угла. Ясно, что если умножить на то мы получим площадь проекции (центральной) элемента поверхности на сферу (с центром в начале координат), проходящую через данную точку поверхности; но эта площадь, очевидно, равна где через обозначен угол между нормалью к поверхности в точке и сферическим радиусом этой точки. Значит,