103. Независимость интеграла от контура интегрирования. Условие полного дифференциала. Формула Ньютона — Лейбница.

Относительно криволинейного интеграла по пространственной линии

может быть также поставлен важный вопрос о независимости его от контура интегрирования. Этот вопрос решается следующей основной теоремой.

Теорема. Для независимости криволинейного интеграла (4.19) от контура интегрирования, принадлежащего

односвязной области или, что все равно, для равенства его нулю по любому замкнутому контуру интегрирования, принадлежащему односвязной области 6, необходимо и достаточно, чтобы функции имеющие непрерывные частные производные первого порядка, тождественно удовлетворяли в области 6 соотношениям:

Доказательство проводится без затруднений на основании формулы Стокса так же, как аналогичная теорема в плоском случае проводится на основании формулы Грина.

Оказывается, что условие (4.20) вполне характеризует дифференциальное выражение

как полныйдифференциал некоторой функции трех независимых переменных и Именно, справедлива такая теорема. Для того чтобы дифференциальное выражение было полным дифференциалом функции трех независимых переменных и в некоторой области 6, необходимо и достаточно тождественное выполнение условия (4.20) в области 6. При этом предполагается, функции X, Y и в этой области непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка.

Доказательство также не отличается от доказательства аналогичной теоремы в плоском случае. Из этой и предыдущей теорем вытекает другая формулировка

основной теоремы о независимости интеграла (4.19) от пути интегрирования.

Теорема. Для независимости криволинейного интеграла (4.19) от контура интегрирования, принадлежащего односвязной области 6, или, что все равно, для равенства его нулю по любому замкнутому контуру интегрирования, принадлежащему односвязной области 6, необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение было в области 6 полным дифференциалом некоторой функции

Если в области 6 имеет место такое равенство, то функция называется первообразной для выражения и она может быть найдена с точностью до постоянного слагаемого по формуле

где интеграл берется по любому пути, принадлежащему области и соединяющему точки

Обозначим через какую-нибудь первообразную для выражения Легко показать (см. I, 93), что , значит,

Это есть формула Ньютона — Лейбница (см. I, 93) для криволинейных интегралов если — полный дифференциал.

Обычно для вычисления интеграла (4.19) при выполнении условий (4.20) принимается в качестве пути интегрирования ломаная со звеньями, параллельными осям При трех звеньях имеем формулу

или аналогичные формулы при интегрировании по другик ребрам параллелепипеда ведущим из точки к точке .

Как видно, такой выбор пути интегрирования наиболее просто приводит интеграл (4.19) к обыкновенным интегралам. Если выражение

не является полным дифференциалом не выполняются), то

есть уже не функция конечных точек линии а функционал линии по которой берется интеграл. Выражение по-прежнему есть дифференциал величины однако лишь в том смысле, что при перемещении точки Р вдоль данной линии оно служит главной частью приращения линейной относительно При этом не произвольные бесконечно малые приращения переменных и а такие, которые удерживают точку на линии Тогда величина есть фактически функция одной независимой переменной (в этом случае выражение иногда обозначают через для отличия от случая полного дифференциала.

Схема применения криволинейного интеграла буквально повторяет схему применения интеграла (см; стр. 277-278) и поэтому не нуждается в специальном описании.