54. Цилиндрические координаты.

Цилиндрическими координатами в пространстве называются, как известно (II, 175), величины через которые декартовы прямоугольные координаты выражаются так:

причем

Очевидно, что цилиндрическими координатами и точки служат полярные координатыаи (п° 39) ее проекции плоскость и ее аппликата (черт. 21). Координатными поверхностями являются:

круговой цилиндр

осью которого является ось а радиус равен

полуплоскость, определяемая равенствами:

она проходит через ось и образует угол с плоскостью обычное уравнение этой полуплоскости (при можно записать в форме

плоскость параллельная плоскости (черт. 21).

В системе цилиндрических координат каждой точке пространства лишенного положительной полуплоскости соответствует единственная тройка чисел и цилиндрических координат и обратно. В каждой точке оси координата и равна нулю, координата имеет определенное значение, а координата может принять любое

Черт. 21.

значение из интервала Ось является особой линией для системы цилиндрических координат.

Геометрический смысл цилиндрических координат очевиден (черт. 21). Цилиндрические координаты добычно обозначаются через или

Обратная система, очевидно, имеет вид:

Координата как функция точки во всем пространстве разрывна на положительной полуплоскости при переходе точки через эту полуплоскость функция получает приращение, равное

Система (2.38), (2.38) гомеоморфно отображает все пространство из которого удалена положительная полуплоскость в область пространства являющуюся бесконечным прямоугольным параллелепипедом, ограниченным плоскостями: Но при этом, если подходить к указанной полуплоскости справа (т. е. при у > 0), то в пространстве образ переменной точки будет стремиться к точке полуплоскости а если подходить к той же точке слева (т. е. при у < 0), то соответствующая точка пространства будет приближаться к точке полуплоскости

Ясно, что система цилиндрических координат ортогональна; это легко проверить и на основании критериев (2.20), (2.21).

Найдем величины для цилиндрических координат:

и, значит,

Имеем:

Обобщенные цилиндрические координаты точки связаны с координатами так:

причем с — положительные константы, а Как видно, обобщенными цилиндрическими координатами точки Р являются соответствующие обобщенные полярные координаты ее проекции на плоскость (см. п° 40) и ее аппликата в соответственно измененном масштабе. Элемент объема в системе обобщенных цилиндрических координат равен