60. Сферические координаты.

Допустим, что в формулах Положим:

что не нарушает условий (а) п° 58. Тогда равенства (2.42) принимают вид:

Считая здесь, что стремится к нулю, а затем заставляя и а стремиться к нулю, найдем:

систему, определяющую сферические координаты (2.39).

Сферические координаты являются вырождениями эллипсоидальных координат, при этом эллипсоид п° 58 вырождается в сферу, однополостный гиперболоид в полуплоскость, проходящую через (особую) ось двуполостный гиперболоид в конус, осью которого служит ось Если то всякой точке области (указанной на стр. 149), в которую отображается каждый октант пространства при помощи равенств (2.42), соответствуют, в силу равенств (2.45), восемь точек из области, определяемой соотношениями: и тт. Это дает возможность установить гомеоморфизм между этой областью и всем пространством лишенным положительной полуплоскости Отсюда видно, что переход (отображение) (2.45) из пространства общих эллипсоидальных координат в пространство сферических координат не только упрощает формулы преобразования, выражения для но и расширяет область гомеоморфизма в пространстве

Таким образом, сферические координаты получаются из эллипсоидальных координат в указанном предельном случае являясь униформизирующими переменными.