55. Сферические координаты.

Сферическими (или полярными в пространстве) координатами называются величины и через которые декартовы прямоугольные координаты и выражаются так:

причем

Координатными поверхностями служат (черт. 22): сфера с центром в начале координат, полуплоскость, проходящая через ось и конус с вершиной в начале координат и с осью, созпадающей с полуосью Действительно, если то, исключая и и из трех равенств (2.39), получим:

т. е. уравнение сферы с центром в начале координат и с радиусом . С увеличением от 0 до переменная сфера один раз выметет все пространство Если то два равенства

Черт. 22.

определяют полуплоскость, проходящую через ось и образующую угол с плоскостью обычное уравнение этой полуплоскости можно записать в форме . С увеличением от 0 до (исключая переменная полуплоскость выметет один раз все пространство кроме точек оси через которые полуплоскость постоянно проходит. Если то, исключая и и из трех равенств (2.39), получим:

т. е. уравнение кругового кону с а, с вершиной в начале координат и с образующей, наклоненной к положительному направлению оси под углом . С увеличением от 0 до переменный конус выметет один раз все пространство кроме точки (0, 0, 0), которая «выметается» при всяком значении

В системе сферических координат каждой точке пространства лишенного положительной полуплоскости соответствует единственная тройка чисел

— ее сферических координат, и обратно. В каждой точке оси имеем: и или (кроме начала координат, где не имеет определенного значения), а координата может принять любое значение из интервала Ось является особой линией для системы сферических координат.

Сферические координаты имеют простой геометрический смысл (черт. 23; см. также черт. 22). Кбордината и точки Р есть длина (модуль) радиуса-вектора она называется сферическим полярным радиусом точки Р; координата есть полярный угол проекции Р точки Р на плоскость она называется иногда долготой точки Р; координата есть угол между радиусом-вектором и положительным направлением оси угол называют

Черт. 23.

иногда широтой точки Р. Сферические координаты обычно обозначаются через

Сферические координаты выражаются следующим образом через декартовы координаты

Координата как функция точки во всем пространстве разрывна на положительной полуплоскости при переходе точки через эту полуплоскость функция получает приращение, равное Координата разрывна в начале координат.

Система (2.39), (2.39) гомеоморфно отображает все пространство из которого удалена положительная полуплоскость в область пространства являющуюся бесконечным прямоугольным параллелепипедом, ограниченным плоскостями: . При этом следует считать по непрерывности, что правая сторона положительной полуплоскости (т. е. обращенная в сторону положительных у) отображается в полуплоскость а левая сторона — в полуплоскость квадрант плоскости при отображается в полуполосу, ограниченную прямыми: плоскости а квадрант плоскости при в такую же полуполосу плоскости

Ортогональность системы сферических координат довольно ясна непосредственно, но нетрудно и проверить выполнение условий ортогональности (2.21). Так как

то

Вычислим величины и для сферических координат. Находим:

и, значит,

Запишем выражения для

(ср. II, 175)