Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4. СЛУЧАЙ ТРЕХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ»Приемы преобразований дифференциальных выражений в случае трех и большего числа независимых переменных не отличаются от тех, которые описаны в предыдущих параграфах для случая двух независимых переменных. Кратко сформулируем основные результаты для случая трех независимых переменных. Пусть дано выражение
причем 77. Общие преобразования.I. Если вводятся новые независимые переменные
то задача состоит в том, чтобы в данном выражении (3.23) заменить переменные
С другой стороны, дифференцируя, например, по
откуда
Подставляя в формулу
Вполне аналогично:
Продолжая дифференцировать эти равенства по найдем производные любых порядков от функции
и вполне аналогично
Подставляя в формулу (3.23) данные и найденные выражения для
Мы не станем истолковывать выполненное преобразование в соответствии с интерпретациями формул преобразования, так как это вполне подобно тому, что было сказано в § 2. Пример 1. Пусть
Преобразуем
Здесь формулы преобразования линейные и легко обратимы:
Имеем:
Подставляя, находим:
Мы видим, что примененное преобразование устраняет все смешанные производные и, таким образом, позволяет, например, заключить, что функция
если функция
II. Пусть теперь по формуле преобразования
заменяется только функция Пример 2. Пусть
(k = const) (ср. пример 4 в § 2). Преобразуем
где
Подставляя, находим:
Дифференциальное уравнение с частными
Которое в случае
Значит, уравнение
имеет, в частности, решение
что легко проверить и непосредственно. Других решений вида
(см. пример 4 в § 2). III. Мы вовсе не будем останавливаться на преобразовании, состоящем в совместной замене и независимых переменных и функции новыми независимыми переменными и новой функцией, ибо такие преобразования в случае трех независимых переменных практически редко встречаются, а их фактическое осуществление вполне аналогично подобным преобразованиям, описанным в п° 73.
|
1 |
Оглавление
|