§ 4. СЛУЧАЙ ТРЕХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ»

Приемы преобразований дифференциальных выражений в случае трех и большего числа независимых переменных не отличаются от тех, которые описаны в предыдущих параграфах для случая двух независимых переменных. Кратко сформулируем основные результаты для случая трех независимых переменных.

Пусть дано выражение

причем где есть функция трех независимых переменных определенная в какой-нибудь области 6 пространства непрерывная в этой области вместе со всеми своими участвующими в выражении (3.23) производными.

77. Общие преобразования.

I. Если вводятся новые независимые переменные в соответствии с формулами преобразования или замены переменных:

то задача состоит в том, чтобы в данном выражении (3.23) заменить переменные переменными для этого нужно выразить через . С одной стороны, по правилам дифференцирования имеем:

С другой стороны, дифференцируя, например, по формулы (3.24), находим:

откуда

Подставляя в формулу для получаем:

Вполне аналогично:

Продолжая дифференцировать эти равенства по и заменяя всякий раз производные их, по формулам по аналогичным формулам.

найдем производные любых порядков от функции по ее аргументам Но высшие производные, в частности вторые, можно находить и несколько иначе: сначала дифференцировать равенства а потом уже исключать в случае необходимости производные от новых переменных по старым, т. е. этом будем иметь:

и вполне аналогично

Подставляя в формулу (3.23) данные и найденные выражения для мы и найдем искомое новое выражение для

Мы не станем истолковывать выполненное преобразование в соответствии с интерпретациями формул преобразования, так как это вполне подобно тому, что было сказано в § 2.

Пример 1. Пусть

Преобразуем к новым независимым переменным при условии, что

Здесь формулы преобразования линейные и легко обратимы:

Имеем:

Подставляя, находим:

Мы видим, что примененное преобразование устраняет все смешанные производные и, таким образом, позволяет, например,

заключить, что функция является решением дифференциального уравнения

если функция есть решение дифференциального уравнения Лапласа

II. Пусть теперь по формуле преобразования

заменяется только функция где либо — новая функция независимых переменных — данная известная функция, либо — заранее данная функция тех же переменных, новая функция одного аргумента . Порядок замены остается таким же, как и в случае двух независимых переменных.

Пример 2. Пусть

(k = const) (ср. пример 4 в § 2). Преобразуем к новой функции при условии, что

где Имеем:

Подставляя, находим:

Дифференциальное уравнение с частными производными: сводится к обыкновенному линейному уравнению:

Которое в случае решается совсем просто:

Значит, уравнение

имеет, в частности, решение

что легко проверить и непосредственно. Других решений вида отличных от это уравнение не имеет. Следует обратить внимание на существенную разницу между формами решений вида где — расстояние переменной точки от начала координат, для уравнений Лапласа соответственно в случае трех и двух независимых переменных:

(см. пример 4 в § 2).

III. Мы вовсе не будем останавливаться на преобразовании, состоящем в совместной замене и независимых переменных и функции новыми независимыми переменными и новой функцией, ибо такие преобразования в случае трех независимых переменных практически редко встречаются, а их фактическое осуществление вполне аналогично подобным преобразованиям, описанным в п° 73.