Главная > Отображения. Криволинейные координаты. Преобразования. Формулы Грина
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 4. СЛУЧАЙ ТРЕХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ»

Приемы преобразований дифференциальных выражений в случае трех и большего числа независимых переменных не отличаются от тех, которые описаны в предыдущих параграфах для случая двух независимых переменных. Кратко сформулируем основные результаты для случая трех независимых переменных.

Пусть дано выражение

причем где есть функция трех независимых переменных определенная в какой-нибудь области 6 пространства непрерывная в этой области вместе со всеми своими участвующими в выражении (3.23) производными.

77. Общие преобразования.

I. Если вводятся новые независимые переменные в соответствии с формулами преобразования или замены переменных:

то задача состоит в том, чтобы в данном выражении (3.23) заменить переменные переменными для этого нужно выразить через . С одной стороны, по правилам дифференцирования имеем:

С другой стороны, дифференцируя, например, по формулы (3.24), находим:

откуда

Подставляя в формулу для получаем:

Вполне аналогично:

Продолжая дифференцировать эти равенства по и заменяя всякий раз производные их, по формулам по аналогичным формулам.

найдем производные любых порядков от функции по ее аргументам Но высшие производные, в частности вторые, можно находить и несколько иначе: сначала дифференцировать равенства а потом уже исключать в случае необходимости производные от новых переменных по старым, т. е. этом будем иметь:

и вполне аналогично

Подставляя в формулу (3.23) данные и найденные выражения для мы и найдем искомое новое выражение для

Мы не станем истолковывать выполненное преобразование в соответствии с интерпретациями формул преобразования, так как это вполне подобно тому, что было сказано в § 2.

Пример 1. Пусть

Преобразуем к новым независимым переменным при условии, что

Здесь формулы преобразования линейные и легко обратимы:

Имеем:

Подставляя, находим:

Мы видим, что примененное преобразование устраняет все смешанные производные и, таким образом, позволяет, например,

заключить, что функция является решением дифференциального уравнения

если функция есть решение дифференциального уравнения Лапласа

II. Пусть теперь по формуле преобразования

заменяется только функция где либо — новая функция независимых переменных — данная известная функция, либо — заранее данная функция тех же переменных, новая функция одного аргумента . Порядок замены остается таким же, как и в случае двух независимых переменных.

Пример 2. Пусть

(k = const) (ср. пример 4 в § 2). Преобразуем к новой функции при условии, что

где Имеем:

Подставляя, находим:

Дифференциальное уравнение с частными производными: сводится к обыкновенному линейному уравнению:

Которое в случае решается совсем просто:

Значит, уравнение

имеет, в частности, решение

что легко проверить и непосредственно. Других решений вида отличных от это уравнение не имеет. Следует обратить внимание на существенную разницу между формами решений вида где — расстояние переменной точки от начала координат, для уравнений Лапласа соответственно в случае трех и двух независимых переменных:

(см. пример 4 в § 2).

III. Мы вовсе не будем останавливаться на преобразовании, состоящем в совместной замене и независимых переменных и функции новыми независимыми переменными и новой функцией, ибо такие преобразования в случае трех независимых переменных практически редко встречаются, а их фактическое осуществление вполне аналогично подобным преобразованиям, описанным в п° 73.

1
Оглавление
email@scask.ru